Hookescher Bereich

Für Werkstoffe, die eine sogenannte ausgeprägte Streckgrenze aufweisen, zeigt die untere Abbildung das typische Spannungs-Dehnungs-Diagramm. Vor allem kohlenstoffarme Stähle sowie Kupfer- und Aluminiumlegierungen zeigen einen solchen Diagrammverlauf. Das Diagramm kann dabei in unterschiedliche Bereiche eingeteilt werden, innerhalb deren jeweils charakteristische Vorgänge im Werkstoff ablaufen, welche durch bestimmte Kenngrößen beschrieben werden.

Zugversuch, technisches Spannungs-Dehnungs-Diagramm, Hookescher-Bereich, Lüders-Bereich, Gleichmaßdehnungs-Bereich, Einschnür-Bereich, Bruchgeometrieunabhängig

Abbildung: Typische Bereiche eines Spannungs-Dehnungs-Diagramms mit ausgeprägter Streckgrenze 

Zunächst zeigt sich im Diagramm ein linearer Kurvenanstieg bei dem die Dehnung proportional zur aufgebrachten Spannung zunimmt. Eine Verdopplung der Spannung bedeutet in diesem Bereich auch eine Verdopplung der Dehnung, bzw. eine Verdreifachung der Spannung auch eine Verdreifachung der Dehnung. Dabei findet innerhalb dieses proportionalen Kurvenverlaufs lediglich eine elastische Verformung statt. Die Verformung der Probe würde nach Wegnahme der Kraft also wieder vollständig zurückgehen.

Dieser elastische Bereich wird analog zum elastischen Bereich einer Feder auch als Hooke'scher Bereich bezeichnet. Mechanisch belastete Bauteile dürfen lediglich in diesem Hooke'schen Bereich beansprucht werden, um eine dauerhafte Verformung zu vermeiden und die Funktionssicherheit auch auf Dauer zu gewährleisten. Man denke bspw. an Zylinderkopfschrauben für Motoren, wo eine bleibende Verformung mit der Zeit zu Undichtigkeiten im Zylinderkopf führen würde.

Die Grenze bis wohin der Werkstoff ohne bleibende Verformung (elastisch) gestreckt werden kann wird auch als Streckgrenze Re (Zug-Fließgrenze) bezeichnet. Dieser Festigkeitskennwert kennzeichnet letztlich das Ende der Hooke'schen Gerade. Die Streckgrenze kann aus der Zugkraft Fe am Ende der Hooke'schen Geraden und dem Probenanfangsquerschnitt S0 ermittelt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{streckgrenze}
&\boxed{R_e = \frac{F_e}{S_0}} ~~~~~[R_e]=\frac{\text{N}}{\text{mm²}} ~~~~~\text{Streckgrenze} \\[5px]
\end{align}

Genauer unterschieden werden kann dabei zwischen der oberen Streckgrenze ReH (High), die den Beginn der plastischen Verformung kennzeichnet und der unteren Streckgrenze ReL (Low), auf welche die Spannung anschließend im Fließbereich der im nachfolgenden Abschnitt näher erläuterten Lüdersdehnung minimal absinkt.

Spannungs-Dehnungs-Diagramm, mit ausgeprägter Streckgrenze, Streckgrenzeneffekt, Bruchdehnung, Zugfestigkeit

Abbildung: Spannungs-Dehnungs-Diagramm mit ausgeprägter Streckgrenze

Die Streckgrenze ist für den Ingenieur einer der wichtigsten Festigkeitskenngrößen, da diese maßgeblich über die Höhe der Beanspruchbarkeit eines Werkstoffes entscheidet und somit letztlich auch über die Funktionssicherheit der Konstruktion. Werkstoffe für hochbeanspruchte Schrauben sollten in der Regel hohe Streckgrenzenwerte aufweisen, um bei hohen Kräfte nicht plastisch verformt zu werden. Auch wenn damit zwar eine bleibende Verformung ausgeschlossen wird, so muss im Betrieb dennoch die elastische Verformung berücksichtigt werden. Dehnen sich bspw. Schrauben im elastischen Bereich zu stark, so geht zwar die Verformung nach Entlastung der Schraubenverbindung wieder vollständig zurück, aber im Betrieb selbst kann es aufgrund der starken Dehnung zu einem kurzzeitigen Lösen der Verbindungsteile kommen. 

Der elastische Bereich eines Werkstoffes ist durch die Hooke'sche Gerade im Spannungs-Dehnungs-Diagramm charakterisiert. Dabei gilt: Je steiler die Hooke'sche Gerade ist, desto mehr Spannung muss grundsätzlich für eine bestimmte (elastische) Dehnung aufgebracht werden. Ein solcher Werkstoff ist also nur mit relativ hohen Kräften elastisch verformbar - er verhält sich deshalb sehr "steif". Die Steigung der Hooke'schen Gerade ist somit ein Maß für die Steifigkeit des Werkstoffes und wird als Elastizitätsmodul E (kurz: E-Modul) bezeichnet:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{e_modul}
&\boxed{E = \frac{\sigma_\text{el}}{\epsilon_\text{el}}} ~~~~~[E]=\frac{\text{N}}{\text{mm²}} ~~~~~\text{E-Modul} \\[5px]
\end{align}

Achtung: Der E-Modul beschreibt nicht wie man aus der Begrifflichkeit meinen könnte die Elastizität eines Werkstoffes sondern genau das Gegenteil: dessen Steifigkeit! Je höher der E-Modul desto steifer, d.h. weniger elastisch verhält sich der Werkstoff! Ein E-Modul von bspw. 210 kN/mm² bedeutet anschaulich, dass theoretisch eine Spannung von 210 kN/mm² erforderlich wäre, um den Werkstoff auf das Doppelte seiner ursprünglichen Länge zu dehnen. Beachte, dass der E-Modul tatsächlich nur im elastischen Bereich seine Gültigkeit besitzt und eine Probendehnung auf das Doppelte nur theoretischer Natur ist. Zur Bestimmung des E-Moduls muss sich das herangezogene Spannungs-Dehnungs-Wertepaar unbedingt auf der Hooke'schen Geraden befinden (aus diesem Grund sind die Indizes in der Formel mit einem "el" für elastisch versehen).

Der E-Modul kann als Analogon zur Federhärte betrachtet werden. Während die Federhärte D als geometrieabhängige Größe den Zusammenhang zwischen Kraft F und Verlängerung ΔL der Zugprobe beschreibt, so charakterisiert der E-Modul E den geometrieunabhängigen Zusammenhang zwischen den entsprechenden Größen Spannung σ und Dehnung ε:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{federhaerte}
&F = D \cdot \Delta L \\[5px]
&\boxed{\sigma_\text{el} = E \cdot \epsilon_\text{el}} \\[5px]
\end{align}

Führungsstangen für einen hochpräzisen Vermessungsapparat sollten bspw. eine hohe Steifigkeit und damit einen hohen E-Modul aufweisen, damit sich diese unter ihrem Eigengewicht und dem Gewicht des Sensorkopfes nicht zu stark Durchbiegen und das Messergebnis damit verfälschen.