Benetzung

Die bisher betrachtete homogene Keimbildung bezog sich auf die eigenen Teilchen in der Schmelze (Eigenkeime). Die größte Hemmschwelle bei dieser homogenen Keimbildung ist das Aufbringen der Oberflächenenergie. Dies führt dazu, dass kleine Keime nicht wachstumsfähig sind und sich dementsprechend auflösen.

Eine Verringerung der Oberflächenenergie bedeutet deshalb, dass eine geringere Aktivierungsenergie für die Keimbildung erforderlich wird und somit auch kleinere Keime stabil sind. Die thermischen Schwankungen wären dann vermehrt in der Lage wachstumsfähige Keime zu bilden. An dieser Stelle können Verunreinigungen, Fremdteilchen oder die Gefäßwände sehr hilfreich sein (allgemein auch als Substrat bezeichnet), da genau diese einen Teil der notwendigen Oberflächenenergie für die Keimbildung aufbringen. Man spricht dann von heterogener Keimbildung, die weniger Aktivierungsarbeit als die homogene Keimbildung erfordert. Da eine Schmelze in der Regel stets solche Fremdkörper beinhaltet, ist die heterogene Keimbildung deshalb wesentlich wahrscheinlicher als die homogene Keimbildung.

Benetzung, heterogene Keimbildung, Ebene

Abbildung: Benetzung

Die Herleitung der Gesetzmäßigkeiten für die heterogene Keimbildung erfolgt auf analogem Wege wie für die homogene Keimbildung. Exemplarisch soll im Folgenden eine glatte Gefäßwand (Kokille) zur Schmelze hin dienen an der sich ein Keim bildet. Aufgrund der wirkenden Oberflächenspannungen hat der erstarrte Keim dabei die Form einer abgeschnittenen Kugel [fahre hierzu mit der Maus über die obere Abbildung].

Der Winkel am Kontaktpunkt zwischen Keimoberfläche und Gefäßwand wird auch als Benetzungswinkel Θ oder Kontaktwinkel bezeichnet. Je nach Wechselwirkung zwischen Keim, Schmelze und Wand wird die Wand sehr stark vom Keim benetzt (geringer Benetzungswinkel) oder kaum benetzt (großer Benetzungswinkel). Dies hat dementsprechend Auswirkungen auf die Form des kugelsegmentförmigen Keims.

Video: Benetzung

Entscheidend für den Kontaktwinkel \(\Theta\) sind die spezifischen Oberflächenenergien bzw. Oberflächenspannungen \(\gamma\) zwischen den besagten Grenzflächen Keim-Schmelze (\(\gamma_{KS}\)), Keim-Wand (\(\gamma_{KW}\)) und Schmelze-Wand (\(\gamma_{SW}\)). Aus eine Gleichgewichtsbetrachtung ergibt sich dabei folgende Beziehung (Young-Gleichung):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{benetzungswinkel}
\boxed{\cos\Theta = \frac{\gamma_{SW}-\gamma_{KW}}{\gamma_{KS}}} ~~~\text{Young-Gleichung} \\[5px]
\end{align}

Heterogene Keimbildung, Young-Gleichung, Oberflächenspannung, Oberflächenenergie, Phasengrenze, kugelförmiger Keim, Benetzungswinkel, Kontaktwinkel

Abbildung: Young-Gleichgewicht

Anhand des Benetzungswinkels \(\Theta\) kann schließlich auch das Volumen \(V\) des Kugelsegmentes bei gegebenem Keimradius \(r\) durch nachfolgend angegeben Gleichung ermittelt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{kuppelvolumen}
&V= \tfrac{1}{3} h^2 \pi  \left(3r - h \right) ~~~\text{mit}~~~ h=r\left(1-\cos\Theta \right) ~~~\text{folgt:} \\[5px]
&\boxed{V= \tfrac{1}{3} \pi \left(2-3\cos\Theta+\cos^3\Theta \right)r^3}  \\[5px]
\end{align}

Kugelsegment, Kugelkalotte, Kugelabschnitt

Abbildung: Kugelabschnitt

Ebenfalls lässt sich über den Benetzungswinkel \(\Theta\) die Oberfläche der Kugelkappe \(O_S\) ermitteln, die die Grenzfläche zwischen Keim und Schmelze bildet.

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{mantelflaeche}
&O_S= 2\pi r h ~~~\text{mit}~~~ h=r\left(1-\cos\Theta \right) ~~~\text{folgt:} \\[5px]
&\boxed{O_S= 2 \pi \left(1-\cos\Theta \right) r^2} \\[5px]
\end{align}

Die sich zur Wand bildende Basisfläche \(O_W\) des Kugelsegmentes ist ebenfalls vom Benetzungswinkel \(\Theta\) abhängig:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{basisflaeche}
&O_W= \pi a^2 ~~~\text{mit}~~~ a=r~\sin\Theta ~~~\text{folgt:} \\[5px]
&\boxed{O_W= \pi \sin^2\Theta \cdot r^2} \\[5px]
\end{align}