Spezifische Wärmekapazität

Im vorangegangenen Kapitel wurde gezeigt, dass Stoffe offensichtlich unterschiedlich stark auf eine Wärmezufuhr oder Wärmeabfuhr reagieren. Manche ändern ihre Temperatur hierdurch sehr stark während andere wiederum nur eine relativ geringe Temperaturänderung zeigen. Auf welche Weise ermittelt werden kann, welche Wärmemenge zu- oder auch abgeführt werden muss, um eine bestimmte Temperaturänderung zu bewirken, soll für Wasser exemplarisch gezeigt werden. Hierzu wird Wasser einer bestimmten Menge (z.B. 1 Kilogramm) mit einem Tauchsieder oder einem Wasserkocher erwärmt und währenddessen die Temperaturänderung erfasst.

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Abbildung: Experiment zur Untersuchung des Temperaturverhaltens von Wasser bei Wärmezufuhr

Die Wärmezufuhr kann dabei über die elektrische Leistung des Tauchsieders ermittelt werden, die vollständig in Wärmeleistung (= "Wärmemenge pro Zeit") umgewandelt wird. Beträgt die Heizleistung des Tauchsieders bspw. 500 W, so werden pro Sekunde 500 J an Wärmeenergie umgesetzt und im Idealfall auch vollständig auf das Wasser übertragen. Somit kann aus der elektrischen Leistung \(P\) und der Betriebsdauer \(t\) die innerhalb dieser Zeit zugeführte Wärme \(Q\) ermittelt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
& Q = P \cdot t \\[5px]
\end{align}

Die Zeitachse kann damit anhand der elektrischen Leistung in eine Wärmeenergieachse überführt werden. Im Versuch zeigt sich dabei prinzipiell ein linearer Verlauf zwischen der zugeführten Wärme und dem Ansteigen der Temperatur. Aufgrund dessen wird deutlich, dass die Zufuhr einer bestimmten Wärmemenge \(Q\) stets zur selben Temperaturänderung \(\Delta T\) führt. Dies ist unabhängig davon von welcher Temperatur ausgegangen wird. So ist für eine Temperatursteigerung von 20 °C auf 30 °C dieselbe Energiemenge zuzuführen wie bei der Erhöhung der Temperatur von 60 °C auf 70 °C. Die Temperatur hat bei flüssigem Wasser also (fast) keinen Einfluss auf die Wärmemenge die umgesetzt werden muss, um eine bestimmte Temperaturänderung hervorzurufen (später hierzu mehr)!

Der lineare Anstieg der Temperatur zeigt ebenfalls, dass zum Beispiel für eine doppelt bzw. dreifach so große Temperaturänderung auch die doppelte bzw. dreifache Energiemenge erforderlich ist. Wärmemenge \(Q\) und Temperaturänderung \(\Delta T\) sind folglich proportional zueinander:

\begin{align}\;\;\;\;\;
& Q \sim \Delta T \\[5px]
\end{align}

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Abbildung: Proportionalität von zugeführter Wärme und Temperaturänderung 

Neben der zugeführten Wärmemenge hat allerdings auch noch die Menge des zu erwärmenden Wassers Einfluss auf die resultierende Temperaturänderung. So zeigt bereits die Alltagserfahrung beim Kochen, dass das Erwärmen einer größeren Wassermasse auch mehr Zeit (und damit Wärmeenergie) in Anspruch nimmt als das Erwärmen einer geringeren Wassermasse. Der oben erläuterte Versuch wird deshalb zusätzlich für verschiedene Wassermengen durchgeführt und die entsprechenden Auswirkungen auf den Temperaturverlauf beim Erwärmen beobachtet.

Die Versuche zeigen, dass wenn nur noch die Hälfte der eigentlichen Wassermasse erwärmt wird, auch nur noch die Hälfte der ursprünglichen Wärmeenergie für eine bestimmte Temperaturänderung erforderlich wird bzw. die doppelte Wärmemenge bei einer entsprechend doppelt so großen Wassermasse. Man stelle sich hierzu einfach vor, man würde die doppelte Wassermasse in zwei gleich große kleinere Wassermassen der ursprünglichen Größe aufteilen und dann beide gleichzeitig mit zwei Tauchsiedern erwärmen. Insgesamt würde man also die doppelte Wärmemenge benötigen. Die zugeführte Wärmemenge \(Q\) und die zu erwärmende Wassermasse \(m\) sind folglich proportional zueinander:

\begin{align}\;\;\;\;\;
& Q \sim m \\[5px]
\end{align}

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Abbildung: Proportionalität von zugeführter Wärme und zu erwärmender Masse

Beide Proportionalitäten zwischen der Wärmemenge \(Q\) und der Temperaturänderung \(\Delta T\) bzw. zwischen der Wärmemenge \(Q\) und der Masse \(m\) können nun in eine gemeinsame Proportionalität überführt werden. Die Wärmemenge \(Q\) ist insgesamt also proportional zu dem Produkt aus Temperaturänderung \(\Delta T\) und Masse \(m\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
& Q \sim m \cdot \Delta T \\[5px]
\end{align}

Damit ist der Quotient aus Wärmemenge \(Q\) und dem Produkt aus Masse \(m\) und Temperaturänderung \(\Delta T\) konstant und lässt sich als Proportionalitätskonstante definieren. Dieser Proportionalitätsfaktor wird spezifische Wärmekapazität \(c\) genannt und ist stoffabhängig.

\begin{align}\;\;\;\;\;
& \boxed{\frac{Q}{m \cdot \Delta T} = \text{konstant} = c} ~~~~~\text{mit}~~~[c] = \frac{\text{kJ}}{\text{kg K}} ~~~ \text{spezifische Wärmekapazität} \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass die physikalisch korrekte Schreibweise der Angabe einer Temperaturänderung nicht in der Einheit Grad Celsius (°C) erfolgt sondern in der Einheit Kelvin (K). Auf den reinen Wert der Temperaturänderung hat dies jedoch keinen Einfluss, da der Zahlenwert einer Temperaturänderung in Kelvin dieselbe ist wie für Grad Celsius. Die spezifische Wärmekapazität hat folglich die Einheit \(\frac{\text{kJ}}{\text{kg K}}\), d.h. sie gibt anschaulich an wie viel Wärmeenergie pro Kilogramm des Stoffes notwendig ist um die Temperatur um 1 K (1 °C) zu erhöhen.

Als stoffabhängige Kenngröße beschreibt die spezifische Wärmekapazität \(c\) den gesuchten Zusammenhang zwischen dem Wärmeumsatz \(Q\) und der hieraus resultierenden Temperaturänderung \(\Delta T\) für eine gegebene Masse \(m\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
& \boxed{Q = c \cdot m \cdot \Delta T}  \\[5px]
\end{align}

Aufgrund der Energieerhaltung gilt die obere Formel nicht nur für die Erwärmung eines Stoffes sondern auch für eine Abkühlung, bei der die Temperatur um einen bestimmten Betrag \(\Delta T\) gesenkt werden soll. Hierzu muss der entsprechende Wärmebetrag \(Q\) dem Stoff entzogen werden. Da die Temperaturänderung bei Abkühlung mathematisch betrachtet negativ ist, erhält man für den Wärmeumsatz ebenfalls ein negatives Vorzeichen. Das Vorzeichen im Ergebnis des Wärmeumsatzes gibt also an, ob einem Stoff Wärme zu- oder abgeführt wird. Ein positives Vorzeichen bedeutet, dass der Wärmebetrag dem Stoff zugeführt werden muss. Entsprechend ist bei einem negativen Vorzeichen dem Stoff jener Wärmebetrag zu entziehen.

Die spezifische Wärmekapazität von Wasser beträgt \(4,2 \tfrac{\text{kJ}}{\text{kg K}}\) (gesprochen: "vier Komma zwei Kilojoule pro Kilogramm und Kelvin"). Dies bedeutet anschaulich, dass für eine Wassermasse von 1 Kilogramm eine Wärmemenge von 4,2 kJ nötig ist, um das Wasser um 1 °C zu erwärmen. Um auf das Beispiel im Abschnitt zuvor nochmals zurück zu kommen, besitzt das Erdreich im Vergleich hierzu nur eine spezifische Wärmekapazität von etwa \(1 \frac{\text{kJ}}{\text{kg K}}\). Der rund 4-fach so große Wert für Wasser zeigt also, dass für dieselbe Temperaturänderung eine 4-fach so große Wärmemenge erforderlich wird. Umgekehrt bedeutet dies, dass sich bei demselben Wärmeumsatz die Temperatur des Wassers nur um ein Viertel so stark ändert als dies beim Erdreich der Fall ist. Die Landmasse erwärmt sich bei Wärmezufuhr also wesentlich schneller bzw. kühlt bei Wärmeabfuhr schneller aus. Die oberen Schichten des Erdreichs gleichen ihre Temperatur also rascher der Umgebung an als dies bei Wasser der Fall sein wird. Dies ist der Grund, weshalb das Wasser der Great Lakes um die Stadt Green Bay im Sommer somit relativ kühl und im Winter relativ warm bleibt. Damit ergibt sich das bereits angesprochene abgemilderte Klima von Green Bay im Vergleich zu Aberdeen.

Beachte, dass bei der experimentellen Bestimmung der spezifischen Wärmekapazität nach oberem Versuchsaufbau ein größerer Wert ermittelt wird als der Stoff tatsächlich besitzt. Grund hierfür ist, dass die für vom Tauchsieder abgegebene Wärme nicht vollständig dem Wasser zugeführt wird. Ein Teil dieser Wärme wird auch zur Erwärmung des Gefäßes und der Umgebung genutzt. Damit kommt dem Wasser nur eine geringere Wärmeenergie als theoretisch berechnet zugute. Siehe hierzu auch das Kapitel Kalorimetrie.

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Abbildung: Energieflussdiagramm zur Erwärmung des Wasser mit einem Tauchsieder

Anmerkung: Die heute zwar noch gebräuchliche aber nicht mehr zulässige physikalische Größe Kalorie im Zusammenhang mit dem Energieinhalt von Nahrungsmitteln hat ihren Ursprung ebenfalls in der Erwärmung des Wassers. Dabei definierte man jene Energiemenge die nötig ist um 1 g Wasser um 1 °C zu erhöhen als 1 Kalorie (1 cal). Demnach entspricht also 1 cal einer Energiemenge von 4,2 J. Die häufiger verwendete Einheit in diesem Zusammenhang ist jedoch die Kilokalorie (kcal), die folglich einem Energiewert von 4,2 kJ entspricht. Beachte, dass bei Nahrungsmitteln häufig nur von Kalorien die Rede ist, obwohl in den meisten Fällen jedoch Kilokalorie gemeint ist.

Anmerkung: Der Begriff "Kapazität" soll im Zusammenhang mit der "spezifischen Wärmekapazität"das Vermögen eines Gegenstandes bezeichnen Wärmeenergie aufzunehmen, ohne dass sich dabei die Temperatur merklich ändert. Also ein sehr hohes Wärmespeichervermögen ohne große Temperaturänderung. Der Begriff "Kapazität" ist insofern etwas unglücklich gewählt, da es sich bei dem Wärmebegriff thermodynamisch gesehen nicht um eine Zustands- sondern um eine sogenannte Prozessgröße handelt. Wärme kann also im eigentlichen Sinne nicht irgendwo "gespeichert" werden (siehe hierzu den Abschnitt Wärme). Die zugeführte Wärmeenergie wird letztlich in "innerer Energie" gespeichert bzw. wird auf Kosten der "inneren Energie" dem Gegenstand bei Abkühlung wieder entzogen.

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