Richmannsche Mischungsregel

Werden zwei Stoffe mit unterschiedlichen Temperaturen in Kontakt miteinander gebracht, so wird sich mit der Zeit im thermodynamischen Gleichgewicht eine gemeinsame Gleichgewichtstemperatur einstellten. Dies bestätigt sich bspw. beim morgendlichen Eingießen der kühlen Milch aus dem Kühlschrank in eine Tasse heißen Kaffees. Während die kühle Milch durch den heißen Kaffee erwärmt wird, führt die Kühlwirkung der Milch zur Abkühlung des Kaffees. Bereits nach kurzer Zeit haben sich die unterschiedlichen Ausgangstemperaturen angeglichen, wobei die Gleichgewichtstemperatur irgendwo zwischen diesen beiden Ausgangstemperaturen liegt [fahre hierzu mit der Maus über die Abbildung und entferne sie anschließend wieder].

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Interaktive Abbildung: Einstellen der Mischtemperatur

Je nachdem wie viel oder wie wenig kühle Milch zum heißen Kaffee gegossen wird, wird die sich einstellende Mischtemperatur (Gleichgewichtstemperatur) zu höheren oder niedrigeren Werten hin verschoben. Schließlich ist bei viel kühler Milch auch viel kühlende Masse vorhanden und die Mischtemperatur entsprechend geringer. Die qualitative Erläuterung dieses Phänomens kann mit Hilfe des Teilchenmodells vorgenommen werden und wurde im Kapitel Temperaturangleichung bereits ausführlich diskutiert. Im Folgenden soll gezeigt werden, wie eine solche Mischtemperatur bei bekannter Ausgangssituation berechnet werden kann. 

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Interaktive Abbildung: Mischtemperatur im thermodynamischen Gleichgewicht

Der grundsätzliche Zusammenhang zwischen Wärme \(Q\) und Temperaturänderung \(\Delta T\) ergibt sich über die Wärmekapazität \(C\) des Stoffes:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&Q = C \cdot \Delta T~\text{,} \\[5px]
\end{align}

wobei sich die Wärmekapazität \(C\) für einen homogenen Stoff aus der spezifische Wärmekapazität und der Masse \(m\) bestimmen lässt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{c}
&C = c \cdot m \\[5px]
\end{align}

Im Folgenden soll wieder exemplarisch dass Kaffee-Milch-Beispiel dienen. Wird die kühle Milch in den Kaffee gegossen, dann wird offensichtlich Energie in Form von Wärme vom heißen Kaffee auf die kühle Milch übertragen. Dies führt dazu, dass sich der Kaffee abkühlt und die Milch sich entsprechend erwärmt. Jene Wärmeenergie \(Q_{Kaffee}\) die der Kaffee abgibt und sich damit um einen Temperaturbetrag \(\Delta T_{Kaffee}\) abkühlt, nimmt die Milch entsprechend auf (\(Q_{Milch}\)) und erhöht hierdurch die Temperatur um einen Betrag \(\Delta T_M\) [fahre hierzu mit der Maus über die Abbildung].

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Interaktive Abbildung: Wärmeübertragung vom heißen Kaffee auf die kühle Milch

Werden also die Beträge der vom Kaffee abgegebenen Wärmeenergie \(Q_{Kaffee}\) und der von der Milch aufgenommenen Wärmemenge \(Q_{Milch}\) gleichgesetzt, dann kann aus den jeweiligen Anfangstemperaturen die sich einstellende Mischtemperatur \(T_M\) bestimmt werden. Dabei wird vorausgesetzt, dass auch nur zwischen diesen beiden "Gegenständen" Wärme übertragen wird und nicht noch auf die Umgebung oder die Tasse übergeht! Besitzt die Milch die Wärmekapazität \(C_{Milch}\) und eine Anfangstemperatur \(T_{Milch}\) sowie der Kaffee eine Wärmekapazität \(C_{Kaffee}\) und eine Anfangstemperatur \(T_{Kaffee}\), dann folgt durch Gleichsetzen der jeweiligen Wärmeumsätze:

\begin{align}\;\;\;\;\;
Q_{Milch} &= Q_{Kaffee} \\[5px]
C_{Milch} \cdot \Delta T_{Milch}  &= C_{Kaffee} \cdot \Delta T_{Kaffee} \\[5px]
\label{1}
C_{Milch} \cdot (T_M - T_{Milch})&= C_{Kaffee} \cdot (T_{Kaffee} - T_M)  \\[5px]
\end{align}

Anmerkung: Beachte, dass die Anfangstemperatur des Kaffees \(T_{Kaffee}\) größer ist als die sich einstellende Mischtemperatur \(T_M\). Um negative Werte in der Temperaturänderung zu vermeiden ergibt sich die betragsmäßige Temperaturänderung des Kaffees damit zu \(\Delta T_{Kaffee}=T_{Kaffee}-T_M\). Die Anfangstemperatur der Milch \(T_{Milch}\) ist hingegen kleiner als die Mischtemperatur \(T_M\), sodass in diesem Fall die (positive) Temperaturänderung \(\Delta T_{Milch}=T_M-T_{Milch}\) lautet. Durch Umstellen von Gleichung (\ref{1}) kann die gesuchte Mischtemperatur \(T_M\) schließlich wie folgt bestimmt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
C_{Milch} \cdot (T_M - T_{Milch})&= C_{Kaffee} \cdot (T_{Kaffee} - T_M)  \\[5px]
C_{Milch} \cdot T_M - C_{Milch} \cdot T_{Milch} &= C_{Kaffee} \cdot T_{Kaffee} - C_{Kaffee} \cdot T_M\\[5px]
C_{Milch} \cdot T_M +C_{Kaffee} \cdot T_M  &= C_{Kaffee} \cdot T_{Kaffee} + C_{Milch} \cdot T_{Milch} \\[5px]
T_M \cdot (C_{Kaffee} +C_{Milch})   &= C_{Kaffee} \cdot T_{Kaffee} + C_{Milch} \cdot T_{Milch} \\[5px]
\label{tm}
T_M  &= \frac{C_{Kaffee} \cdot T_{Kaffee} + C_{Milch} \cdot T_{Milch}}{C_{Kaffee} +C_{Milch}} \\[5px]
\end{align}

Die Gleichung (\ref{tm}) wurde anhand des Kaffee-Milch-Beispiels hergeleitet. Sie kann aber auf zwei beliebige Körper übertragen werden. Dabei spielt es auch keine Rolle ob es sich um einen Mischvorgang zweier Flüssigkeiten oder zwei in Kontakt stehender Festkörper oder um einen Festkörper der in eine Flüssigkeit taucht handelt!  Die Mischungsgleichung (\ref{tm}) ist also grundsätzlich für jeden Prozess bei dem zwei Stoffe in thermodynamischen Kontakt miteinander gebracht werden gültig, solange dabei allerdings keine Aggregatzustandsänderung durchlaufen wird! Eine solche Aggregatzustandsänderung würde bspw. beim Eingießen von Eiswürfel in ein warmes Getränk eintreten! Für solche Fälle müssen je nach Aggregatzustandsänderung weitere Wärmeumsätze berücksichtigt werden (siehe Abschnitt Spezifische Schmelz- & Erstarrungswärme).

Für zwei beliebige Stoffe \(1\) und \(2\) mit unterschiedlichen Ausgangstemperaturen \(T_1\) und \(T_2\) sowie unterschiedlichen Wärmekapazitäten \(C_1\) und \(C_2\) ergibt sich die Mischtemperatur \(T_M\) im thermodynamischen Gleichgewicht ganz allgemein wie folgt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{r}
\boxed{T_M  = \frac{C_{1} \cdot T_{1} + C_{2} \cdot T_{2}}{C_{1} +C_{2}}} \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass bei realen Mischungsvorgängen die Wärmeumsätze nicht vollständig innerhalb der beiden beteiligten Stoffe umgesetzt werden sondern auch immer ein gewisser Teil der Wärmeenergie auf das Gefäß bzw. auf die Umgebung übergeht. Die realen Mischtemperaturen sind aufgrund der abgehenden Wärme an die Umgebung somit geringer als die theoretisch berechneten Mischwerte.

Es zeigt sich bei genauer Betrachtung von Gleichung (\ref{r}), dass sich die Mischtemperatur letztlich aus dem gewichteten Mittelwert der Anfangstemperaturen ergibt, wobei die Gewichtung durch die entsprechenden Wärmekapazitäten vorgenommen wird! Mit Gleichung (\ref{c}) kann die Mischtemperatur auch anhand der spezifischen Wärmekapazitäten \(c\) und der Massen der beteiligten Stoffe ermittelt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{rr}
\boxed{T_M = \frac{c_1 \cdot m_1 \cdot T_{1} + c_2 \cdot m_2 \cdot T_{2}}{c_1 \cdot m_1 + c_2 \cdot m_2}} \\[5px]
\end{align}

Gleichung (\ref{r}) bzw. Gleichung (\ref{r}) wird auch als Richmannsche Mischungsregel bezeichnet. Die Temperaturen müssen dabei nicht zwangsläufig in der Einheit Kelvin angegeben werden. Die Temperaturen können in diesem Fall auch in der Einheit Grad Celsius eingesetzt werden!

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