Gleichzeitige Erwärmung mehrerer Gegenstände

Ob gewollt oder ungewollt, hat man es bei realen Erwärmungsprozessen oder Abkühlvorgängen in der Regel immer mit mehreren Gegenständen zu tun, die gleichzeitig erwärmt bzw. abgekühlt werden. Eine solche gleichzeitige Erwärmung zeigt sich bspw. beim Erhitzen einer Wurst in einem Topf mit Wasser. Die zugeführte Wärme durch die Herdplatte erwärmt den sowohl Topf als auch gleichzeitig das Wasser sowie die darin befindliche Wurst (ebenfalls wird teilweise die umgebende Luft erhitzt - dies soll im Folgenden vernachlässigt werden). 

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Abbildung: Gleichzeitige Erwärmung mehrerer Körper (Energieflussdiagramm)

Wird davon ausgegangen, dass alle zu erwärmenden Gegenstände zu Beginn dieselbe Ausgangstemperatur besitzten und sich nach dem Erwärmen eine gemeinsame Gleichgewichtstemperatur zwischen allen beteiligten Gegenständen einstellt, dann hat offensichtlich jeder Gegenstand dieselbe Temperaturänderung \(\Delta T\) durchlaufen. Anhand deren jeweiliger Wärmekapazität \(C\) kann dann die für jeden Gegenstand die aufgenommene Wärmeenergie \(Q\) ermittelt werden, die für diese Temperaturänderung erforderlich war:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{qq}
&Q = C \cdot \Delta T \\[5px]
\end{align}

Die Summe aller übertragenen Wärmemengen \(Q\) auf die einzelnen Gegenstände entspricht letztlich der insgesamt zugeführten Wärme \(Q_{ges}\), welche im oberen Beispiel von der Herdplatte aufzuwenden ist. Diese Aussage lässt sich prinzipiell auf beliebig viele zu erwärmende Gegenstände erweitern:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{q}
&Q_{ges} = Q_1+Q_2+Q_3+... \\[5px]
\end{align}

Wir die Wärmeenergie für jeden Gegenstand nach Gleichung (\ref{qq}) in Gleichung (\ref{q}) eingesetzt, dann folgt für den gesamten Wärmeumsatz \(Q_{ges}\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&Q_{ges} = C_1 \cdot \Delta T + C_2 \cdot \Delta T + C_3 \cdot \Delta T +...  = \underbrace{(C_1+C_2+C_3+...)}_{C_{ges}} \cdot \Delta T = C_{ges} \cdot \Delta T \\[5px]
\end{align}

Es zeigt sich, dass sich die Gesamtwärmekapazität \(C_{ges}\) eines aus mehreren Gegenständen bestehenden Systems aus der Summe der einzelnen Wärmekapazitäten \(C\) der jeweiligen Gegenstände bestimmen lässt. Mit diese Gesamtwärmekapazität lässt sich dann die ingesamt umzusetzende Wärmeenergie \(Q_{ges}\) ermitteln, die für eine einheitliche Temperaturänderung \(\Delta T\) erforderlich ist:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{1}
&\boxed{Q_{ges} = C_{ges} \cdot \Delta T}    \\[5px]
\notag
&~~\text{mit:} ~~~ \\[5px]
\label{0}
&\boxed{C_{ges}=C_1+C_2+C_3+...} \\[5px]
\end{align}

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Abbildung: Gleichzeitige Erwärmung mehrerer Körper

Beachte, dass die Wärmekapazitäten \(C\) der einzelnen Gegenstände für den Fall, dass es sich dabei um homogene Stoffe handelt, aus den spezifischen Wärmekapazitäten \(c\) und den jeweiligen Massen \(m\) bestimmen lässt (siehe AbschnittWärmekapazität): 

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{2}
&\boxed{C = c \cdot m} ~~~\text{gilt nur für einen homogenen Stoff} \\[5px]
\end{align}

Mit den Gleichungen (\ref{2}) und (\ref{0}) kann die Wärmekapazität eines Körper bei bekannter Stoffzusammensetzung damit auch rechnerisch ermittelt werden.

Anmerkungen:

In dem oben genannten Beispiel werden sich in der Regel die verschiedenen Gegenstände für die Dauer der Einschaltphase der Herdplatte unterschiedlich stark erwärmen. Es ist davon auszugehen, dass sich zunächst der Topf erwärmt, dann das Wasser und zuletzt die Wurst. Somit ergeben sich während dem Erwärmungsprozess durchaus unterschiedliche Temperaturen bzw. Temperaturerhöhung an den entsprechenden Gegenständen. Jedoch wird sich nach Abschalten der Herdplatte früher oder später eine gemeinsame Gleichgewichtstemperatur einstellen.

Der in der Regel wärmere Topf wird nach Abschalten der Herdplatte einen Teil der zuvor von der Herdplatte zugeführten Wärme an das Wasser übertragen und dieses wiederum dann an die Wurst weitergeben. Es findet also lediglich eine Art Umverteilung der insgesamt bereits zugeführten Wärme zwischen diesen Gegenständen statt (solange dabei allerdings Wärmeverluste an die Umgebung vernachlässigt werden). Spätestens nach Einstellen der Gleichgewichtstemperatur (thermodynamisches Gleichgewicht) haben dann aber alle Gegenstände dieselbe Temperaturänderung erfahren und Gleichung (\ref{1}) behält ihre Gültigkeit. Vorausgesetzt werden muss dabei natürlich, dass auch zu Beginn Wasser, Wurst und Topf eine einheitliche Ausgangstemperatur aufweisen!

Sollten die verschiedenen Gegenständen hingegen zu Beginn unterschiedliche Temperaturen aufweisen oder sich keine gemeinsame Endtemperatur einstellen und sich damit keine einheitliche Temperaturänderung ergeben, so muss dann tatsächlich für jeden Gegenstand explizit anhand seiner individuellen Temperaturänderung und seiner Wärmekapazität die entsprechend zugeführte Wärmemenge ermittelt und anschließend aufsummiert werden (siehe hierzu auch das nachfolgende Kapitel Richmannsche Mischungsregel).

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