Isothermer Prozess

Eine Zustandsänderung bei der sich die Temperatur nicht ändert, bezeichnet man auch als isothermen Prozess. Alle Zustände, die das Gas während eines solchen Prozesses durchläuft, zeichnen sich also durch eine konstante Temperatur aus.

Ein isothermer Prozess liegt zum Beispiel dann vor, wenn eventuell auftretende Temperaturänderungen sofort durch die Abfuhr oder Zufuhr von Wärme ausgeglichen werden. Wird eine Luftpumpe bei geschlossen gehaltenem Auslassventil zusammengedrückt, so wird das Gas im Inneren komprimiert. Dies ist normalerweise mit einem Anstieg der Temperatur verbunden. Kühlt man allerdings gleichzeitig das Gas, so kann während der Verdichtung die Temperatur hierdurch konstant gehalten werden. Umgekehrt muss bei einem isothermen Expansionsvorgang dem Gas Wärme zugeführt werden, um der normalerweise eintretenden Temperaturerniedrigung entgegenzuwirken.

Eine isotherme Zustandsänderung lässt sich näherungsweise dadurch realisieren, dass man den Expansions- oder Kompressionsvorgang so langsam ablaufen lässt, dass eventuell auftretende Temperaturänderungen sehr rasch von der Umgebung (durch Wärmeabfuhr oder Wärmezufuhr) wieder ausgeglichen werden. Man stelle sich nur vor, man komprimiere die Luft einer Luftpumpe nicht innerhalb weniger Sekunden sondern über mehrere Minuten bzw. Stunden. Für schnellere Verdichtungsvorgänge muss - wie in der unteren Abbildung durch Eiswürfel dargestellt - hingegen aktiv gekühlt werden.

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Abbildung: Isotherme Kompression von Luft in einer Luftpumpe

Wird ein Gas bei einer Temperatur \(T\) isotherm komprimiert, so wird sich das Gasvolumen von einem Anfangswert \(V_1\) auf einen Endwert \(V_2\) verkleinern. Dies ist mit einer entsprechenden Druckerhöhung von \(p_1\) auf \(p_2\) verbunden. Gemäß der thermischen Zustandsgleichung verhalten sich Druck und Volumen bei einem isothermen Vorgang umgekehrt proportional. Der genaue Zusammenhang zwischen Druck und Volumen \(p(V)\) ergibt sich durch Umstellen der thermischen Zustandsgleichung nach dem Druck \(p\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{eq:6942}
&p~V = R_S~m~T ~~~\text{thermische Zustandsgleichung}\\[5px]
\label{pv}
&\boxed{p ={ \underbrace{R_S~m~T}_{=konstant} \cdot {1 \over V}}} ~\Rightarrow~ p \sim {1 \over V}
\end{align}

Beachte, dass neben der spezifischen Gaskonstante \(R_S\) und der Masse \(m\) (geschlossenes System), nun auch die Temperatur \(T\) konstant ist. Somit ist natürlich auch das Produkt aller drei Größen konstant (\(R_S \cdot m \cdot T\) = konstant). Der isotherme Prozess stellt sich im \(p(V)\)-Diagramm entsprechend als Hyperbel dar.

Der Zusammenhang zwischen dem Anfangszustand (\(V_1\), \(p_1\)) und dem Endzustand (\(V_2\), \(p_2\)) wird bei einem isothermen Prozess durch das Gesetz von Boyle-Mariotte beschrieben. Diese Gesetzmäßigkeit ergibt sich als Spezialfall der thermischen Zustandsgleichung für \(T_1=T_2\):

\begin{equation}\;\;\;\;\;
\label{3} 
p \sim {1 \over V} ~\Rightarrow~ {p \cdot V} = \text{konstant} ~\Rightarrow~ \boxed{ {p_1 \cdot V_1} = {p_2 \cdot V_2} } ~\text{mit} ~ T=\text{konstant}
\end{equation}

Die Änderung der inneren Energie \(\Delta U\) ergibt sich grundsätzlich direkt über die Temperaturänderung \(\Delta T=T_2-T_1\). Da sich bei einem isothermen Prozess die Temperatur allerdings nicht ändert (\(T_1=T_2\)), ändert sich folglich auch die innere Energie nicht. Dies wird auch bereits aus der Bedeutung der Temperatur deutlich. Denn wenn sich die Temperatur nicht ändert, dann ändert sich auch die Geschwindigkeit der Gasteilchen nicht und der Energiegehalt des Gases bleibt konstant.

\begin{equation}\;\;\;\;\;
\boxed{ \Delta U = 0}
\label{eq:1203}
\end{equation}

Die verrichtete Arbeit während der isothermen Kompression kann nicht mehr einfach als Produkt aus Druck \(p\) und Volumenänderung \(V\) ermittelt werden, wie dies beim isobaren Prozesses der Fall war. Schließlich ändert sich mit kleiner werdendem Volumen während des Kompressionsprozesses auch stetig der Druck. Dies bedeutet, dass mit fortschreitender Kompression eine immer größere Kraft und damit immer mehr Arbeit verrichtet werden, um eine weitere Verkleinerung des Volumens zu erreichen. Dies wird auch anhand des \(p(V)\)-Diagramms ersichtlich. Darin entspricht die Fläche unter der Prozesskurve der umgesetzten Volumenänderungsarbeit (hier: Kompressionsarbeit). Die Fläche unter der Kurve nimmt mit kleiner werdendem Volumen immer stärker zu.

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Abbildung: Volumenänderungsarbeit während der Kompression

An dieser Stelle muss die Volumenarbeit \(W_V\) als Fläche unter der Kurve anhand des Integrals \(-\int p(V) \text{d}V \) ermittelt werden [fahre hierzu mit der Maus über die obere Abbildung]. Für den Verlauf des Druckes ist die Funktion \(p(V)\) nach Gleichung (\ref{pv}) zu verwenden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{eq:5671}
W_V &= - \int\limits_{V_1}^{V_2} p(V) ~ dV ~~~~~ \text{ mit } ~~~~~ p(V) = R_S~m~T \cdot {1 \over V} ~~~~~ \text{ folgt: }  \\[5px]
&= - \int\limits_{V_1}^{V_2} \underbrace{R_S~m~T}_{=konstant} \cdot {1 \over V} ~ dV \\[5px]
&= - R_S~m~T~ \int\limits_{V_1}^{V_2} {1 \over V} ~ dV \\[5px] &= - R_S~m~T~ \left[~\ln(V)~\right]^{V_1}_{V_2} \\[5px]
&= - R_S~m~T~ \left[ \ln(V_2) - \ln(V_1) \right] \\[5px]
&= R_S~m~T~ \left[ \ln(V_1) - \ln(V_2) \right] ~\text{ mit }~ \underline{\ln(V_1) - \ln(V_2) = \ln \left(V_1 \over V_2 \right)} ~\text{ folgt: } \\[5px]
\end{align}

\begin{equation}\;\;\;\;\;
\boxed{W_V = R_S~m~T \cdot \ln \left(V_1 \over V_2 \right)} = R_S~m~T \cdot \ln \left(p_2 \over p_1 \right)
\label{eq:4387}
\end{equation}

Da das Verhältnis der Volumina \( {V_1 \over V_2} \) gemäß Gleichung (\ref{3}) dem umgekehrten Verhältnis der Drücke entspricht \(\frac{p_2}{p_1}=\frac{V_1}{V_2}\), kann die Volumenänderungsarbeit auch über das Druckverhältnis ermittelt werden.

Die während des oben beschriebenen Kompressionsvorganges zugeführt Volumenänderungsarbeit \(W_V\) resultiert aufgrund des isothermen Vorgangs offensichtlich nicht in einer Änderung der inneren Energie. Dies ist natürlich nur dann möglich, wenn die zugeführte Kompressionsarbeit im selben Maße durch eine Abfuhr von Wärme kompensiert wird. Arbeits- und Wärmeumsatz \(Q\) sind betragsmäßig gleich groß, tragen jedoch umgekehrte Vorzeichen. Dies wird auch sofort aus dem Ersten Hauptsatz mit der Bedingung \(\Delta U\)=0 ersichtlich:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&W_V + Q = \overbrace{\Delta U}^{=0} ~~~~~\text{Erster Hauptsatz}  \\[5px]
&\boxed{Q = - W_V}
\end{align}

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Abbildung: Energieflussdiagramm einer isothermen Kompression

Im nächsten Abschnitt wird auf den isentropen Prozess näher eingegangen.

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