Isochorer Prozess

Ändert sich bei einer Zustandsänderung das Volumen des eingeschlossenen Gases nicht, so spricht man auch von einer isochoren Zustandsänderung bzw. einem isochoren Prozess. Für alle Zustände die das Gas zwischen Anfangs- und Endzustand durchläuft gilt demnach dasselbe Volumen.

Eine isochore Zustandsänderung findet sich zum Beispiel bei einer mit Luft gefüllten, verschlossenen Glasflasche wieder, die sich im Sommer durch Sonneneinstrahlung erwärmt. Das Gasvolumen ist dabei alleine durch das Flaschenvolumen vorgegeben. Wird von der vernachlässigbaren Wärmeausdehnung der Flasche abgesehen, so wird das Flaschenvolumen und damit das Gasvolumen bei Erwärmung stets konstant bleiben. Die Zustandsänderung des Gases, findet demzufolge bei konstantem Volumen statt.

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Abbildung: Erwärmung einer Gasflasche als isochore Zustandsänderung

Wird dem Gas durch die Sonneneinstrahlung nun Wärme zugeführt, so wird die Gastemperatur vom Ausgangswert \(T_1\) auf einen Endwert \(T_2\) ansteigen. Damit verbunden ist auch ein Druckanstieg vom Anfangsdruck \(p_1\) auf einen Enddruck \(p_2\). Wird dieser isochore Prozess im \(p(V)\)-Diagramm veranschaulicht, so zeigt sich bei konstantem Volumen \(V\) eine vertikale Linie vom Ausgangsdruck \(p_1\) auf den Enddruck \(p_2\).

Der Zusammenhang zwischen dem Anfangszustand (\(p_1\), \(T_1\)) und dem Endzustand (\(p_2\), \(T_2\)) wird dabei durch das Gesetz von Amontons beschrieben. Diese Gesetzmäßigkeit ergibt sich als Spezialfall der allgemeinen Gasgleichung für \(V_1=V_2\) (isochore Zustandsänderung):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{1}
p \sim T ~\Rightarrow~ {p \over T} = \text{konstant} ~\Rightarrow~ \boxed{ {p_1 \over T_1} = {p_2 \over T_2} } ~\text{mit} ~ V=\text{konstant}
\end{align}

Die Änderung der inneren Energie \(\Delta U\) während des isochoren Prozesses anhand der Temperaturänderung \(\Delta T=T_2-T_1\) ermittelt werden:

\begin{align} \;\;\;\;\;
\label{2}
\boxed{ \Delta U = c_v ~ m ~ \left(T_2-T_1 \right)} = c_v ~ m ~ T_1 \left({T_2 \over T_1}-1 \right) = c_v ~ m ~ T_1 \left({p_2 \over p_1}-1 \right)
\end{align}

Darin bezeichnet \(c_v\) die spezifische Wärmekapazität und \(m\) die Masse des Gases. Die Änderung der inneren Energie kann auch über den Anfangs- und Enddruck ermittelt werden. Hierzu muss lediglich Gleichung (\ref{1}) mit Gleichung (\ref{2}) verknüpft werden. Dabei wird \(T_1\) in Gleichung (\ref{2}) zunächst ausgeklammert, sodass sich innerhalb des Klammerausdrucks das Verhältnis der Temperaturen \( T_2 \over T_1 \) ergibt. Das Verhältnis dieser Temperaturen entspricht nach Gleichung (\ref{1}) auch dem Verhältnis der Drücke \( {T_2 \over T_1}={p_2 \over p_1} \). Somit lässt sich anhand der Anfangstemperatur \(T_1\) und den Drücken ebenfalls die Änderung der inneren Energie ermitteln.

Da sich das Gasvolumen während der Zustandsänderung nicht ändert (\(\Delta V\)=0), kann weder am Gas noch vom Gas Volumenänderungsarbeit \(W_V\) verrichtet werden. Dies wird auch anhand des \(p(V)\)-Diagramms ersichtlich. Aufgrund der vertikalen Linie ergibt sich keine Fläche unterhalb der Prozesskurve und somit auch keinen Arbeitsumsatz (Beachte, dass die Fläche unter der Prozesskurve - sofern sie denn existiert - ganz allgemein die umgesetzte Volumenänderungsarbeit darstellt).

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{3}
\boxed{ W_V = 0}
\end{align}

Anhand der Änderung der inneren Energie \(\Delta U\) und des Arbeitsumsatzes \(W_V\) nun auch der Wärmeumsatz \(Q\) während des isochoren Prozesses bestimmt werden. Da keine Arbeit bei der isochoren Zustandsänderung verrichtet wird, entspricht der Wärmeumsatz direkt der Änderung der inneren Energie. Dies wird auch anschaulich klar, denn wohin soll die zugeführte Wärme sonst gelangen, wenn sie sich nicht in Volumenänderungsarbeit niederschlägt? Der Wärmeumsatz kann also nur in einer Änderung der inneren Energie resultieren.

\begin{align}\;\;\;\;\;
&W_V + Q = \Delta U ~~~~~\text{Erster Hauptsatz}  \\[5px]
&Q = \Delta U - \underbrace{W_V}_{=0} = \Delta U \\[5px]
&\boxed{Q = \Delta U}
\end{align}

Der Wärmeumsatz bei einem isochoren Prozess ermittelt sich also auf identischem Wege wie die Änderung der inneren Energie:

\begin{align}\;\;\;\;\; \label{eq:8857} \boxed{Q = c_v ~ m ~ \left(T_2-T_1 \right)} = c_v ~ m ~ T_1 \left({T_2 \over T_1}-1 \right) = c_v ~ m ~ T_1 \left({p_2 \over p_1}-1 \right) \end{align}

Bei Betrachtung der oberen Gleichungen wird deutlich, dass sich für die als bekannt vorausgesetzte isochore Zustandsänderung die Prozessgrößen Arbeit und Wärme anhand von Zustandsgrößen bestimmen lassen.

Im nächsten Abschnitt wird auf den isobaren Prozess als Spezialfall näher eingegangen.

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