Isobarer Prozess

Eine Zustandsänderung bei der sich der Druck nicht ändert, wird auch isobarer Prozess genannt. Somit gilt für alle durchlaufenen Gaszustände derelbe Druck.

Ein isobarer Vorgang kann zum Beispiel wie folgt realisiert werden. Ein stehender Zylinder ist mit einem Gas gefüllt, der durch einen beweglichen Kolben verschlossen ist. Der Kolben wird von oben durch ein konstantes Gewicht belastet. Wird das Gas nun erwärmt, so dehnt sich das Gas aus und bewegt das Gewicht entsprechend nach oben. Dabei wird der im Inneren des Zylinders herrschende Druck dem Gas von außen aufgezwungen. Schließlich steht beim Anhebevorgang die Kraft des Gases mit jenen Kräften im Gleichgewicht, die von der anderen Seite auf die Kolbenfläche wirken - zumindest wenn dieses mit konstanter Geschwindigkeit angehoben wird (Kräftegleichgewicht), wovon an dieser Stelle ausgegangen werden soll.

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Abbildung: Erwärmung eines gasgefüllten Zylinders als isobare Zustandsänderung

Anhand der äußeren Kräfte kann demzufolge die innere Kraft des Gases ermittelt werden und über die Kolbenfläche \(A\) dann schließlich der Gasdruck \(p\). Im vorliegenden Fall wirkt von außen zum einen die Gewichtskraft des aufgelegten Gewichtes \(F_G\) und zum anderen die Gewichtskraft des Kolbens \(F_K\). Darüber hinaus darf allerdings die Kraft \(F_u\) die der Umgebungsdruck ebenfalls von außen auf den Kolben ausübt nicht vergessen werden! Diese kann anhand des Umgebungsdruckes \(p_u\) und der Kolbenfläche \(A\) berechnet werden (\(F_u=p_u \cdot A\)). Somit gilt für die auszuübende Kraft \(F_{gas}\) des Gases:

\begin{equation}\;\;\;\;\;
F_{gas} = F_G + F_K + F_u = F_G + F_K + p_u \cdot A
\end{equation}

Das Gas wirkt mit dieser Kraft \(F_{gas}\) auf die Kolbenfläche \(A\), was entsprechend zu folgendem Gasdruck \(p\) führt:

\begin{equation}\;\;\;\;\; 
\label{de}
\underline{p} = {F_{gas} \over A} = {{F_G + F_K + p_u \cdot A} \over A} = \underline{ {F_G \over A} + {F_K \over A} + p_u }
\end{equation}

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Abbildung: Bestimmung des Gasdruckes

Gleichung (\ref{de}) macht nun deutlich, dass der Gasdruck offensichtlich nur von Größen abhängt, die sich während des Prozesses nicht ändern. Der Gasdruck bleibt somit für die gesamte Zustandsänderung stets konstant. Beim Heben des Gewichtes handelt es sich folglich um einen isobaren Prozess.

Wird das Gewicht schließlich unter Wärmezufuhr nach oben bewegt, so erwärmt sich das Gas ausgehend der Anfangstemperatur \(T_1\) auf einen Endwert \(T_2\). Dabei vergrößert sich das Gasvolumen bei konstantem Druck \(p\) vom Ausgangsvolumen \(V_1\) auf ein Endvolumen \(V_2\). Wird dieser Prozess im \(p(V)\)-Diagramm abgebildet, so ergibt sich letztlich bei konstantem Druck \(p\) eine horizontale Linie vom Anfangsvolumen \(V_1\) zum Endvolumen \(V_2\).

Der Zusammenhang zwischen dem Anfangszustand (\(V_1\), \(T_1\)) und dem Endzustand (\(V_2\), \(T_2\)) wird durch das Gesetz von Gay-Lussac beschrieben. Diese Gesetzmäßigkeit ergibt sich als Spezialfall der allgemeinen Gasgleichung für \(p_1=p_2\) (isobare Zustandsänderung):

\begin{equation}\;\;\;\;\;
\label{p} 
V \sim T ~\Rightarrow~ {V \over T} = \text{konstant} ~\Rightarrow~ \boxed{ {V_1 \over T_1} = {V_2 \over T_2} } ~\text{mit} ~ p=\text{konstant}
\end{equation}

Sind schließlich Anfangs- und Endtemperaturen bekannt, so kann die Änderung der inneren Energie \(\Delta U\) während der isobaren Zustandsänderung bestimmt werden:

\begin{equation}\;\;\;\;\;
\label{du} 
\boxed{ \Delta U = c_v ~ m ~ \left(T_2-T_1 \right)} = c_v ~ m ~ T_1 ~ \left({T_2 \over T_1}-1 \right) = c_v ~ m ~ T_1 ~ \left({V_2 \over V_1}-1 \right)
\end{equation}

Darin bezeichnet \(m\) die Gasmasse und \(c_v\) die spezifische Wärmekapazität des Gases. Wird Gleichung (\ref{du}) nach Ausklammerung der Temperatur \(T_1\) mit Gleichung (\ref{p}) verknüpft, so kann die Änderung der inneren Energie auch anhand des Volumenverhältnisses \( {V_2 \over V_1} \left(= {T_2 \over T_1} \right) \) ausgedrückt werden.

Der Arbeitsumsatz des Gases ergibt sich für den isobaren Fall relativ einfach als Fläche unter der Kurve im \(p(V)\)-Diagramm. Es handelt sich dabei lediglich um eine Rechteckfläche mit der "Höhe" \(p\) und der "Breite" \(\Delta V\)=\(V_2\)-\(V_1\). Unter Berücksichtigung der Vorzeichenkonvention gilt für die umgesetzte Volumenänderungsarbeit \(W_V\) des isobaren Prozesses somit die nachfolgende Gleichung:

\begin{equation}\;\;\;\;\;
\label{w}
\boxed{ W_V = - p \cdot \Delta V = - p \cdot \left(V_2 - V_1 \right) }
\end{equation}

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Abbildung: Volumenänderungsarbeit einer isobaren Zustandsänderung

Anmerkung: Das Minuszeichen ist der Vorzeichenkonvention geschuldet, da bei Volumenvergrößerung (\(\Delta V\)>0) das Gas offensichtlich Arbeit verrichtet und dieser Arbeitsumsatz negativ zu werten ist (\(W_V\)<0). Umgekehrt drückt sich eine Volumenverkleinerung (\(\Delta V\)<0) vorzeichenrichtig in einem positiven Arbeitsumsatz aus (\(W_V\)>0), da dabei Arbeit dem Gas zugeführt wird.

Die Volumenänderungsarbeit kann nicht nur über die Differenz der Volumina sondern auch über die Differenz der Temperaturen ermittelt werden. Hierzu sind einige Umformungen nötigt. Zunächst wird der Druck \(p\) in Gleichung (\ref{w}) in den Klammerterm hinein multipliziert. Anschließend wird ausgenutzt, dass gemäß der thermischen Zustandsgleichung für das Produkt aus Druck und Volumen gilt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{z}
p \cdot V= R_S \cdot m \cdot T
\end{align}

Darin bezeichnet \(R_S\) die spezifische Gaskonstante des eingeschlossenen Gases. Anschließend kann der Term \(R_S \cdot m\) wieder vor die Klammer gezogen werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{www}
W_V &=- p \cdot \left(V_2 - V_1 \right) \\[5px]
&=- \left( p ~ V_2 - p ~ V_1 \right) ~\text{ mit }~ \underbrace{p~V=R_S~m~T}_{\text{therm. Zustandsgln.}} ~\text{ folgt:}~ \\[5px]
&= - \left( R_S ~ m ~ T_2 - R_S ~ m ~ T_1 \right) \\[5px]
&= -R_S ~ m ~ \left(T_2 - T_1 \right)
\end{align}

Die Volumenänderungsarbeit \(W_V\) lässt sich also auch über die Differenz zwischen End- und der Anfangstemperatur des isobaren Prozesses ermitteln:

\begin{equation}\;\;\;\;\;
\label{wvv}
\boxed{W_V = - R_S ~ m ~ \left(T_2 - T_1 \right)}
\end{equation}

Die beim isobaren Prozess umgesetzte Wärme \(Q\) ermittelt sich schließlich aus der Differenz der Änderung der inneren Energie \(\Delta U\) und der Volumenänderungsarbeit \(W_V\). Für die Volumenänderungsarbeit soll an dieser Stelle ausdrücklich Gleichung (\ref{wvv}) zur Anwendung kommen, da sich dabei tiefergehende Vereinfachungen ergeben:

\begin{align}\;\;\;\;\;
W_V + Q &= \Delta U ~~~~~\text{Erster Hauptsatz}  \\[5px]
Q &= \Delta U - W_V \\[5px]
&= c_v ~ m ~ \left(T_2-T_1 \right) + R_s ~ m ~ \left(T_2 - T_1 \right) \\[5px]
&= \underbrace{[c_v+R_S]}_{=c_p} ~ m ~ (T_2-T_1)
\label{eq:9885}
\end{align}

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Abbildung: Energiefluss des isobaren Diagramms

Während der Umformung werden die Stoffkonstanten \(c_v\) und \(R_S\) zu einer neuen Konstante \(c_p\) zusammengefasst, sodass sich letztlich folgender Zusammenhang zwischen dem Wärmeumsatz \(Q\) und der Temperaturänderung ergibt:

\begin{equation}\;\;\;\;\;
\label{q} 
\boxed{ Q = c_p ~ m ~ (T_2-T_1)} ~\text{mit}~ \boxed{c_p=c_v+R_S}
\end{equation}

Der Grund weshalb diese Konstanten so zusammengefasst werden, zeigt sich wenn man die Gleichung für den Wärmeumsatz des isochoren Prozesses und die des isobaren Prozesses nun gegenüber stellt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{eq:6667}
Q_v &= c_v ~ m ~ (T_2-T_1) \;\;\; \text{isochorer Prozess} \\[5px]
Q_p &= c_p ~ m ~ (T_2-T_1) \;\;\; \text{isobarer Prozess}
\end{align}

Es lässt sich darin die Konstante \(c_v\) als die Wärmekapazität des isochoren Prozesses und \(c_p\) als die Wärmekapazität des isobaren Prozesses interpretieren. Es ergeben sich zwischen dem Wärmeumsatz und der Temperaturänderung dann die analogen Zusammenhänge.

Der Wärmeumsatz gemäß Gleichung (\ref{q}) kann bei gegebener Anfangstemperatur \(T_1\) auch durch das Verhältnis von End- und Anfangsvolumen ausgedrückt werden:

\begin{equation}\;\;\;\;\;
Q= c_p ~ m ~ \left(T_2-T_1 \right) = c_p ~ m ~ T_1 ~ \left({T_2 \over T_1}-1 \right) = c_p ~ m ~ T_1 ~ \left({V_2 \over V_1}-1 \right)
\label{eq:7052}
\end{equation}

Beachte, dass aus Gleichung (\ref{q}) hervorgeht, dass die spezifische Wärmekapazität des isobaren Prozesses \(c_p\) stets um den Wert der spezifischen Gaskonstante \(R_S\) größer ist als die spezifische Wärmekapazität des isochoren Prozesses. Dies bedeutet, dass bei einem isobaren Prozess offensichtlich mehr Wärme zuzuführen ist als bei einem isochoren Vorgang, wenn dabei dieselbe Temperaturänderung erzielt werden soll.

Der anschauliche Grund hierfür ist, dass bei einem isobaren Prozess die zugeführte Wärmeenergie \(Q\) nicht vollständig der Änderung der inneren Energie \(\Delta U\) und somit der Temperaturerhöhung zugutekommt. Ein Teil der zugeführten Wärme wird nämlich in Volumenänderungsarbeit \(W_V\) gesteckt. Aus diesem Grund muss mehr Wärmeenergie zugeführt werden, damit abzüglich dieser Volumenänderungsarbeit noch genügend Energie für die Änderung der inneren Energie und somit für die Temperaturerhöhung zur Verfügung steht.

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Abbildung: Vergleich einer isobaren Erwärmung und einer isochoren Erwärmung

Die Herleitung nach Gleichung (\ref{www}) macht deutlich, dass die spezifische Gaskonstante \(R_S\) überhaupt erst durch den Term der Volumenänderungsarbeit zustande kommt. Für weitere Informationen, siehe auch den Abschnitt Spezifische Wärmekapazität von Gasen.

Im nächsten Abschnitt wird auf den isothermen Prozess als Spezialfall näher eingegangen.

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