Isentroper ("adiabater") Prozess

Im vorherigen Abschnitt wurde erläutert, dass sich der isentrope Prozess dadurch auszeichnet, dass er in einem adiabaten System stattfindet. Per Definition eines adiabaten Systems findet also kein Wärmeumsatz während der isentropen Zustandsänderung statt (\(Q\)=0). 

Wie ebenfalls erläutert ändern sich bei einem solchen "adiabaten" Prozess sowohl Volumen, Druck als auch Temperatur. Es gilt nach der allgemeinen Gasgleichung also lediglich der allgemeingültige Zusammenhang, dass der Ausdruck \(\frac{p \cdot V}{T}\) für alle Zustände konstant ist:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&p \cdot V = R_S \cdot m \cdot T ~~~~~\text{thermische Zustandsgleichung (allgemeine Gasgleichung)}  \\[5px]
&{p \cdot V \over T}=R_S \cdot m = \text{konstant} \\[5px]
\Rightarrow~ &\boxed{{p_1~V_1 \over T_1}={p_2~V_2 \over T_2} }
\end{align}

Es kann jedoch ein eindeutiger Zusammenhang zwischen jeweils zwei Zustandsgrößen hergeleitet werden, wenn neben der allgemeinen Gasgleichung zusätzlich noch die spezielle Bedingung für den isentropen Prozess mit \(Q\)=0 berücksichtigt wird. Nach komplexerer mathematischer Herleitung (siehe nächster Abschnitt) ergeben sich durch Kombination beider Gleichungen letztlich die folgenden Zustandsverknüpfungen bei einem isentropen Prozess:

\begin{alignat}{3}\;\;\;\;\;
\label{1}
&&&&&\boxed{p \sim {1 \over V^\kappa}} \text{ mit } \boxed{\kappa = {c_p \over c_v}}>1 \\[5px]
\label{2}
&p \cdot V^\kappa = \text{konstant}& &\Rightarrow&~ &\boxed{ p_1~V_1^\kappa = p_2~V_2^\kappa} \\[5px]
\label{3}
&T \cdot V^{\kappa-1} = \text{konstant}& &\Rightarrow&~ &\boxed{ T_1~V_1^{\kappa-1} = T_2~V_2^{\kappa-1}} \\[5px]
\label{4}
&T^\kappa \cdot p^{1-\kappa} = \text{konstant}& &\Rightarrow&~ &\boxed{ T_1^\kappa~p_1^{1-\kappa} = T_2^\kappa~p_2^{1-\kappa}} \\[5px]
\end{alignat}

Da in den Gleichungen (\ref{2}) bis (\ref{4}) der Quotient aus den spezifischen Wärmekapazitäten \(c_p\) und \(c_v\) sehr häufig wiederzufinden ist, wird dieser praktischerweise zum sogenannten Isentropenexponent \(\kappa\) (Adiabatenexponent) zusammengefasst. Der Isentropenexponent \(\kappa\) ist einheitenlos und grundsätzlich größer 1, da die spezifische Wärmekapazität \(c_p\) stets größer \(c_v\) ist (siehe hierzu auch den Abschnitt spezifische Wärmekapazität von Gasen).

Nun wird auch auf mathematischem Wege deutlich, dass die Prozesskurve für einen isentropen Prozess steiler verläuft als die des isothermen Prozesses. Beim isothermen Prozess nimmt der Druck mit größer werdendem Volumen nach der Gesetzmäßigkeit \(p \sim {1 \over V}\) ab. Bei der isentropen Zustandsänderung hingegen verringert sich der Druck nach der Gesetzmäßigkeit \(p\sim {1 \over V^\kappa}\). Da der Isentropenexponent \(\kappa\) allerdings stets größer 1 ist, fällt der Druck bei einer isentropen Volumenvergrößerung offensichtlich schneller ab als beim isothermen Prozess. Folglich verläuft die Isentrope im \(p(V)\)-Diagramm steiler als die Isotherme.

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Abbildung: Isentrope und isotherme Zustandsänderung im Volumen-Druck-Diagramm im Vergleich

Ist die Anfangs- und Endtemperatur des isentropen Prozesses bekannt, so kann die Änderung der inneren Energie \(\Delta U\) berechnet werden. Wird diese Gleichung dabei nach dem Temperaturverhältnis \(T_2 \over T_1 \) umgestellt, so kann die Änderung der inneren Energie bei gegebener Anfangstemperatur \(T_1\) durch Verknüpfung mit Gleichung (\ref{3}) bzw. Gleichung (\ref{4}) auch über das Volumenverhältnis bzw. das Druckverhältnis ermittelt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{a}
&\boxed{ \Delta U = c_v~m~\left(T_2-T_1 \right)} \\[5px]
&=c_v~m~T_1~\left[{T_2 \over T_1}-1 \right] \\[5px]
&=c_v~m~T_1~\left[{\left(V_1 \over V_2 \right)^{\kappa-1}}-1 \right] \\[5px]
\label{c}
&=c_v~m~T_1~\left[{\left(p_1 \over p_2 \right)^{{1-\kappa} \over \kappa}}-1 \right] \\[5px]
\end{align}

Prinzipiell kann die Volumenänderungsarbeit \(W_V\) beim isentropen Prozess durch die Integration der Zustandskurve im Volumen-Druck-Diagramm erhalten werden. Betrachtet man jedoch den ersten Hauptsatz der Thermodynamik, so wird deutlich, dass durch die Bedingung \(Q\)=0 die Volumenänderungsarbeit gerade der Änderung der inneren Energie entspricht. Dies wird auch anschaulich klar, denn aufgrund des fehlenden Wärmeumsatzes muss die am Gas verrichtete Volumenänderungsarbeit vollständig der inneren Energie zugutekommen. Umgekehrt vollzieht sich eine vom Gas erbrachte Volumenänderungsarbeit vollständig auf Kosten der inneren Energie. Zur Berechnung der Volumenänderungsarbeit \(W_V\) während eines isentropen Prozesses können also die Gleichungen (\ref{a}) bis (\ref{c}) benutzt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&W_V + \underbrace{Q}_{=0} = \Delta U ~~~~~\text{Erster Hauptsatz}\\[5px]
&\boxed{W_V = \Delta U}
\end{align}

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