Herleitung der Zustandsgleichungen des isentropen Prozesses

Für die Herleitung der Zustandsgleichungen des isentropen Prozesses ist die allgemeine Gasgleichung

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{0}
&p~V=R_S~m~T ~~~~~\text{allgemeine Gasgleichung}\\[5px]
\label{p}
\Rightarrow~~~ &\boxed{p=R_S~m~{T \over V}} \\[5px]
\end{align}

mit der Folgerung aus dem ersten Hauptsatz unter der Bedingung \(Q=0\) zu verknüpfen:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&Q \overset{!}=0 \\[5px]
\label{wv}
\Rightarrow~~~& \boxed{W_V = \Delta U} \\[5px]
\end{align}

Während sich die Volumenänderungsarbeit in Gleichung (\ref{wv}) aus dem Integral \( - \int p~\text{d}V \) bestimmt, ermittelt sich die Änderung der inneren Energie \(\Delta U\) aus der Temperaturdifferenz mit \( \Delta U = c_v \cdot m \cdot \Delta T \):

\begin{align}\;\;\;\;\; 
\label{eq:6305}
W_V &= \Delta U \\[5px]
\label{eq:5561}
- \int p~\text{d}V &=c_v~m~\Delta T \\[5px]
\end{align}

Werden an dieser Stelle lediglich infinitesimale Änderung des Volumens (innerhalb dessen der Druck als konstant angesehen werden kann) und der Temperatur betrachtet, so kann die Volumenänderungsarbeit und die Änderung der inneren Energie durch die entsprechenden Differentiale ausgedrückt werden (\(\Delta\)→\(\text{d}\)):

\begin{align}\;\;\;\;\; 
\label{eq:9887}
\text{d}W_V &= \text{d}U \\[5px]
\label{pv}
-p~\text{d}V &= c_v~m~\text{d}T \\[5px]
\end{align}

Gleichung (\ref{pv}) verknüpft für den isentropen Prozess den Zusammenhang zwischen einer infinitesimalen Volumenänderung \(\text{d}V\) und der hieraus resultierenden Temperaturänderung \(\text{d}T\). Dabei ist der Druck \(p\) allerdings nicht unabhängig des Volumens \(V\) bzw. der Temperatur \(T\), wie aus der allgemeinen Gasgleichung (\ref{p}) hervorgeht. Werden beide Gleichungen miteinander verknüpft, so können die zum Differential gehörenden Variablen entsprechend getrennt werden ("Trennung der Variablen" genannt). Konkret bedeutet dies lediglich, dass die Temperatur \(T\) von der "linken Seite" auf die "rechte Seite" des Gleichheitszeichens gebracht wird:

\begin{align}
\require{cancel}
-p~\text{d}V &= c_v~m~\text{d}T \\[5px]
\label{eq:1957}
- \overbrace{R_S~m~{T \over V}}^{=p}~\text{d}V &= c_v~m~\text{d}T \\[5px]
\label{eq:6421}
- R_S~\bcancel{m}~{1 \over V}~\text{d}V &= c_v~\bcancel{m}~{1 \over T}~\text{d}T \\[5px]
\label{tv}
- R_S~{1 \over V}~\text{d}V &= c_v~{1 \over T}~\text{d}T \\[5px]
\end{align}

Nachdem die Variablen nun getrennt sind, kann Gleichung (\ref{tv}) innerhalb der entsprechenden Grenzen \(V_1\) bis \(V_2\) bzw. \(T_1\) bis \(T_2\) integriert werden. Dabei können die Konstanten \(R_S\) und \(c_v\) vor die jeweiligen Integrale gezogen werden.

\begin{align} \;\;\;\;\; 
\label{eq:9552}
- R_S~\int\limits_{V_1}^{V_2} {1 \over V}~\text{d}V &= c_v~\int\limits_{V_1}^{V_2} {1 \over T}~\text{d}T \\[5px]
 R_S~\left[ \ln{(V)} \right]^{V_2}_{V_1} &= c_v~\left[ \ln{(T)} \right]^{T_2}_{T_1} \\[5px]
- R_S~\ln \left(V_2 - V_1 \right) &= c_v~\ln \left(T_2 - T_1 \right) \\[5px]
R_S~\ln \left(V_1 - V_2 \right) &= c_v~\ln \left(T_2 - T_1 \right) ~~~\text{mit}~~~ \underline{\ln(a)-\ln(b)=\ln \left(a \over b \right)} ~~~\text{folgt:} \\[5px]
R_S~\ln \left(V_1 \over V_2 \right) &= c_v~\ln \left(T_2 \over T_1 \right) ~~~\text{mit}~~~ \underline{R_S=c_p-c_v} ~~~\text{folgt:} \\[5px]
(c_p-c_v)~\ln \left(V_1 \over V_2 \right) &= c_v~\ln \left(T_2 \over T_1 \right) \\[5px]
\left({c_p \over c_v} - 1 \right)~\ln \left(V_1 \over V_2 \right) &= \ln \left(T_2 \over T_1 \right) ~~~\text{mit}~~~ \boxed{\kappa={c_p \over c_v}} ~~~\text{folgt:} \\[5px]
\label{k}
(\kappa - 1)~\ln \left(V_1 \over V_2 \right) &= \ln \left(T_2 \over T_1 \right) \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass die Einführung des sogenannten Isentropenexponenten \(\kappa\) (Adiabatenexponent) lediglich als vereinfachte Schreibweise anstelle des Quotienten \(\frac{c_p}{c_v}\) dient.

Mit Gleichung (\ref{k}) ist für den isentropen Prozess bereits eine eindeutige Verknüpfung zwischen einem beliebigen Anfangszustand 1 (\(V_1\), \(T_1\)) und einem beliebigen Endzustand 2 (\(V_2\), \(T_2\)) gegeben. Unter Zuhilfenahme von verschiedenen Logarithmengesetzen kann diese Gleichung allerdings noch wesentlich vereinfacht werden:

\begin{align}
\label{eq:3049}
\;\;\;\;\; e^{(\kappa-1)\ln \left(V_1 \over V_2 \right)} &= e^{\ln \left(T_2 \over T_1 \right)} \\[5px]
\;\;\;\;\; \left[e^{\ln \left(V_1 \over V_2 \right)}\right]^{\kappa-1} &= e^{\ln \left(T_2 \over T_1 \right)} \\[5px]
\label{w}
\;\;\;\;\; \left(V_1 \over V_2 \right)^{\kappa-1} &= {T_2 \over T_1} \\[5px]
\end{align}

\begin{equation}\;\;\;\;\;
\boxed{T_1~V_1^{\kappa-1}= T_2~V_2^{\kappa-1}} ~~~\text{bzw.}~~~ \boxed{T~V^{\kappa-1}=\text{konstant}}
\label{eq:5377}
\end{equation}

Schließlich zeigt sich, dass bei einem isentropen Prozess das Produkt aus Temperatur und das mit \(\kappa-1\) potenzierte Volumen konstant ist.

Wird an dieser Stelle die allgemeine Verknüpfung zweier Zustände durch die allgemeine Gasgleichung

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{a}
&\boxed{{p_1~V_1 \over T_1}={p_2~V_2 \over T_2} }
\end{align}

mit der Gleichung (\ref{w}) weiter kombiniert, so lässt sich auch eine eindeutige Beziehung zwischen den Temperaturen und den Drücken herstellen:

\begin{align}
\label{eq:9411}
\;\;\;\;\; {{p_1~V_1} \over T_1} = {{p_2~V_2} \over T_2} ~~~\Rightarrow~~~ &{V_1 \over V_2} = {p_2 \over p_1}~{T_1 \over T_2} ~~~\text{in Gleichung (23) eingesetzt:} \\[5px]
\;\;\;\;\; \left(V_1 \over V_2 \right)^{\kappa-1} = {T_2 \over T_1} ~~~\Rightarrow~~~ &\left({p_2 \over p_1}~{T_1 \over T_2} \right)^{\kappa-1} = {T_2 \over T_1} \\[5px]
\;\;\;\;\; &\left(p_2 \over p_1\right)^{\kappa-1}~\left(T_1 \over T_2 \right)^{\kappa-1} = {T_2 \over T_1} \\[5px]
\;\;\;\;\; &\left(p_2 \over p_1\right)^{\kappa-1} = {T_2 \over T_1}~\left(T_2 \over T_1 \right)^{\kappa-1} \\[5px]
\;\;\;\;\; &\left(p_2 \over p_1\right)^{\kappa-1} = \left(T_2 \over T_1 \right)^{\kappa} \\[5px]
\;\;\;\;\; &\left(p_1 \over p_2\right)^{1-\kappa} = \left(T_2 \over T_1 \right)^{\kappa} \\[5px]
\;\;\;\;\; & \boxed{T_1^\kappa~p_1^{1-\kappa} = T_2^\kappa~p_2^{1-\kappa}} ~~~\text{bzw.}~~~ \boxed{T^\kappa~p^{1-\kappa}=\text{konstant}} \\[5px]
\end{align}

Auf die analoge Weise kann eine Beziehung zwischen den Volumina und den Drücken hergeleitet werden, wenn die allgemeingültige Gleichung (\ref{a}) mit Gleichung (\ref{w}) verknüpft wird:

\begin{align}
\label{eq:1136}
\;\;\;\;\; {{p_1~V_1} \over T_1} = {{p_2~V_2} \over T_2} ~~~\Rightarrow~~~ &{T_2 \over T_1} = {p_2 \over p_1}~{V_2 \over V_1} ~~~\text{in Gleichung (23) eingesetzt:} \\[5px]
\;\;\;\;\; \left(V_1 \over V_2 \right)^{\kappa-1} = {T_2 \over T_1} ~~~\Rightarrow~~~ &\left(V_1 \over V_2 \right)^{\kappa-1} = {p_2 \over p_1}~{V_2 \over V_1} \\[5px]
\;\;\;\;\; &\left(V_1 \over V_2 \right)~\left(V_1 \over V_2 \right)^{\kappa-1} = {p_2 \over p_1} \\[5px]
\;\;\;\;\; &\left(V_1 \over V_2 \right)^{\kappa} = {p_2 \over p_1} \\[5px]
\;\;\;\;\; &\boxed{p_1~V_1^\kappa = p_2~V_2^\kappa} ~~~\text{bzw.}~~~ \boxed{p~V^\kappa=\text{konstant}} \\[5px]
\end{align}

Damit sind für eine isentrope Zustandsänderung nun alle Beziehungen zwischen den unterschiedlichen Zustandsgrößen hergeleitet und unten nochmals zusammengefasst:

\begin{alignat}{3}\;\;\;\;\;
&&&&&\boxed{p \sim {1 \over V^\kappa}} \text{ mit } \boxed{\kappa = {c_p \over c_v}}>1 \\[5px]
&p \cdot V^\kappa = \text{konstant}& &\Rightarrow&~ &\boxed{ p_1~V_1^\kappa = p_2~V_2^\kappa} \\[5px]
&T \cdot V^{\kappa-1} = \text{konstant}& &\Rightarrow&~ &\boxed{ T_1~V_1^{\kappa-1} = T_2~V_2^{\kappa-1}} \\[5px]
&T^\kappa \cdot p^{1-\kappa} = \text{konstant}& &\Rightarrow&~ &\boxed{ T_1^\kappa~p_1^{1-\kappa} = T_2^\kappa~p_2^{1-\kappa}} \\[5px]
\end{alignat} 

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