Reibungsbehaftete Prozesse in adiabatischen Systemen

Viele technische Prozesse laufen in sehr kurzen Zeiten ab, wie bspw. die Expansionsvorgänge in Verbrennungsmotoren (ca. 10 ms). Innerhalb solch kurzer Prozesszeiten kann ein Wärmeaustausch zwischen Gas und Umgebung in erster Näherung vernachlässigt werden (\(Q\)=0). Diese Zustandsänderungen werden dann als in einem adiabaten System ablaufend betrachtet. Gemäß dem Ersten Hauptsatz der Thermodynamik ergibt sich somit die nach außen abgegebene Arbeit \(W_g\) direkt über die Änderung der inneren Energie \(\Delta U\). Diese ist bei idealen Gasen wiederum nur von der Temperaturänderung \(\Delta T\) abhängig:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{1764}
&W_g + \underbrace{Q}_{=0} = \Delta U = c_v~m~\Delta T ~~~\text{mit}~~~ \Delta T = T_2-T_1 \\[5px]
\label{9067}
&\boxed{W_g = c_v~m~\Delta T} ~~~\text{gilt nur für adiabate Systeme} \\[5px]
\end{align}

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Interaktive Abbildung: Expansionsvorgang in einem adiabaten System

Offensichtlich wird also bei einer adiabatischen Expansion umso mehr Arbeit vom System nach außen abgegeben, umso größer dabei die Differenz zwischen Anfangs- und Endtemperatur ist. Beim Arbeitstakt innerhalb eines Dieselmotors bspw. sinkt die Temperatur im Zylinder während der Expansion von ca. 2000 °C auf rund 500 °C. Bei gegebener Anfangstemperatur \(T_1\) führen reibungsbehaftete Prozesse aufgrund von Dissipationsvorgängen allerdings jedoch stets auf höhere Endtemperaturen \(T_2\) im Vergleich zu reibungsfreien Vorgängen (siehe Abschnitt zuvor). Die Temperatur sinkt während des Expansionsvorgangs offensichtlich nicht so stark. Reibungsbehaftete Expansionsvorgänge geben somit stets geringere Arbeitsumsätze nach außen ab [fahre hierzu mit der Maus über die obere Abbildung]! 

In der unteren Abbildung ist einmal eine reibungsfreie Expansion gezeigt (blaue Kurve) und zum Vergleich hierzu eine reibungsbehaftete Expansion, bei der eine konstante Reibungskraft über die Dauer der Expansion angenommen wurde (rote Kurve). Ferner wurde angenommen, dass die gesamte Reibungsarbeit in innere Energie dissipiert wird.

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Abbildung: Reibungsfreier und reibungsbehafteter Expansionsvorgang im Vergleich

Aufgrund der größeren Temperaturdifferenz liefern reibungsfreie Expansionsprozesse folglich den größtmöglichen Arbeitsumsatz. Für solche reversiblen Vorgänge gelten in adiabaten Systemen die Gesetzmäßigkeiten des isentropen Prozesses und können mit diesen Gleichungen mathematisch beschrieben werden. Reibungsbehaftete Zustandsänderungen hingegen verlaufen aufgrund der höheren Temperaturen auf einem höheren Druckniveau. Solche Prozesse können dann durch einen polytropen Verlauf angenähert werden, wobei der Polytropenexponent \(n\) einen geringeren Wert als der Isentropenexponent \(\kappa\) aufweist (weitere Informationen siehe hier).

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{3475}
&\boxed{p_1~V_1^n=p_2~V_2^n} \\[5px]
\label{2070}
&\boxed{T_1~V_1^{n-1}=T_2~V_2^{n-1}} \\[5px]
\label{9579}
&\boxed{T_1^n~p_1^{1-n}=T_2^n~p_2^{1-n}} \\[5px]
\text{ mit: }~~ &n=\kappa ~~~\text{für reibungsfreie (isentrope) Prozesse} \nonumber \\
&n < \kappa ~~~\text{für reibungsbehaftete (polytrope) Prozesse} \nonumber \\
\end{align}

Somit kann die vom System abgegebene Arbeit \(W_g\) nach Gleichung (\ref{9067}) mit Hilfe der Polytropengleichungen (\ref{2070}) und (\ref{9579}) bei gegebener Anfangstemperatur \(T_1\) auch über das Druck- bzw. Volumenverhältnis bestimmt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{1}
&W_g=c_v~m~\left[T_2-T_1 \right] = c_v~m~T_1~\left[{T_2 \over T_1}-1 \right] \\[5px]
&\boxed{W_g=c_v~m~T_1~\left[{\left(V_1 \over V_2 \right)^{n-1}}-1 \right]}~~~\text{gilt nur für adiabate Systeme} \\[5px]
\label{3}
&\boxed{W_g=c_v~m~T_1~\left[{\left(p_1 \over p_2 \right)^{{1-n} \over n}}-1 \right]}~~~\text{gilt nur für adiabate Systeme} \\[5px]
\text{ mit: }~~ &n=\kappa ~~~\text{für reibungsfreie (isentrope) Prozesse} \nonumber \\
&n < \kappa ~~~\text{für reibungsbehaftete (polytrope) Prozesse} \nonumber \\
\end{align}

An dieser Stelle sei nochmals ausdrücklich erwähnt, dass man stets auf den Begriff "adiabatische" Zustandsänderung verzichten sollte. Denn sowohl der isentrope Prozess (\(n=\kappa\)) als auch der polytrope Prozess (\(n<\kappa\)) laufen in einem adiabaten System ab. Insofern sind all diese Vorgänge "adiabatisch". Die jeweiligen Zustandsänderungen bzw. die Prozessverläufe unterscheiden sich aber aufgrund der unterschiedlichen Exponenten (siehe hierzu auch das Kapitel Expansion gegen ein Vakuum)! 

Welcher konkrete Polytropenexponent \(n\) den abgebildeten, reibungsbehafteten Prozess am besten beschreibt, kann anhand des Anfangs- und Endzustandes ermittelt werden. Dies setzt in der Praxis natürlich eine experimentelle Bestimmung der entsprechenden Werte voraus. Anschließend ist entweder Gleichung (\ref{3475}), Gleichung (\ref{2070}) oder Gleichung (\ref{9579}) nach dem gesuchten Polytropenexponent \(n\) aufzulösen:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{6526}
\boxed{n
=\frac{\ln{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}} {\ln{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}}
={\frac{\ln{\left(\frac{T_2}{T_1}\right)}} {\ln{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}} +1}
=\frac{\ln{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}} {\ln{\left(\frac{T_1}{T_2}\right)} + \ln{\left(\frac{p_2}{p_1}\right)} }
} \\[5px]
\end{align}

Anhand der gegebenen Anfangs- und Endwerte scheint für den vorliegenden Fall ein Polytropenexponent von \(n\)=1,1689 die mit konstanter Reibungskraft beeinflusste Zustandsänderung am besten wiederzugeben. Der Vergleich im Diagramm zwischen der entsprechenden Polytropen und dem tatsächlichen Zustandsverlauf zeigt zu Beginn und gegen Ende der Zustandsänderung eine sehr gute Übereinstimmung; im dazwischen liegenden Bereich gibt es jedoch kleinere Abweichungen.

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Abbildung: Polytrope Zustandsänderung als Näherung für die reibungsbehaftete Expansion

Da sich die von außen umgesetzte Arbeit \(W_g\) aus der Summe von Volumenänderungsarbeit \(W_V\) und Reibungsarbeit \(W_{Diss}\) (Dissipationsarbeit) ergibt (siehe Abschnitte zuvor), kann die Dissipationsarbeit dann wie nachfolgend angegeben bestimmt werden:

\begin{alignat}{2}\;\;\;\;\;
\label{7305}
&W_g = W_V + W_{Diss} \\[5px]
\label{3440}
&W_{Diss}= W_g - W_V = \underbrace{c_v~m~(T_2-T_1)}_{W_g} - \underbrace{\left[\frac{\kappa-1}{n-1}\right]~c_v~m~(T_2-T_1)}_{W_V} \\[5px]
\label{5715}
&\boxed{W_{Diss}= \left[\frac{n-\kappa}{n-1}\right]~c_v~m~(T_2-T_1)} = \left[\frac{n-\kappa}{n-1}\right]~c_v~m~T_1~\left[{T_2 \over T_1}-1 \right] \\[5px]
\label{4461}
&\boxed{W_{Diss}=\left[\frac{n-\kappa}{n-1}\right]~c_v~m~T_1~\left[{\left(V_1 \over V_2 \right)^{n-1}}-1 \right]} \\[5px]
\label{2394}
&\boxed{W_{Diss}=\left[\frac{n-\kappa}{n-1}\right]~c_v~m~T_1~\left[{\left(p_1 \over p_2 \right)^{{1-n} \over n}}-1 \right]} \\[5px]
\end{alignat}

Bei den Gleichungen für die Dissipationsarbeit handelt es sich um dieselben Gleichungen, die bei (reibungsfreien) polytropen Vorgängen den Wärmeumsatz beschreiben (siehe Kapitel hier). Sie können im vorliegenden Fall allerdings nicht mehr als Wärmeumsatz interpretiert werden, da es sich um ein adiabates System handelt. Die identischen Gleichungen lassen sich aber aus der Anschauung heraus dennoch erklären. Denn aus energetischer Sicht des Gases hat die Dissipationsarbeit denselben Effekt wie eine Wärmezufuhr, nämlich eine Erhöhung der inneren Energie.

Beachte, dass die vom geschlossenen System abgegebene Arbeit \(W_g\) nur vom Anfangs- und Endzustand abhängig ist. Die Gleichungen (\ref{1}) bis (\ref{3}) geben deshalb den tatsächlichen Arbeitsumsatz wieder, auch wenn die polytrope Zustandsänderung die tatsächliche Zustandsänderung gemäß dem Volumen-Druck-Diagramm nicht exakt beschreibt. Denn letztlich stimmen eben Anfangs- und Endwert mit der Realität überein, sofern der Polytropenexponent nach Gleichung (\ref{6526}) gewählt wurde!

Anders sieht die Situation bei der Dissipationsarbeit \(W_{Diss}\) aus. Für deren Ermittlung ist gemäß Gleichung (\ref{3440}) die Volumenarbeit \(W_V\) relevant, die sich als Fläche unter der Zustandskurve im Volumen-Druck-Diagramm ergibt. Wie im Diagramm zu sehen ist, gibt es allerdings Abweichungen zwischen der polytropen Zustandsänderung und dem tatsächlichen Prozess. Deshalb werden die Gleichungen (\ref{5715}) bis (\ref{2394}) die tatsächliche Dissipationsarbeit im Allgemeinen nicht exakt wiedergeben können. Im vorliegenden Fall ist die Fläche unter der Polytropen größer als tatsächlich und suggeriert somit auch eine größere Dissipationsarbeit als dies in der Realität der Fall sein wird.

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Abbildung: Volumenänderungsarbeit der polytropen Zustandsänderung

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