Herleitung der Volumenarbeit und des Wärmeumsatzes

Für polytrope Prozesse wurden im vorherigen Abschnitt die Zustandsgleichungen wie folgt hergeleitet:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{2716}
\boxed{p~V^n=\text{konstant}} &~~\Rightarrow~~ \boxed{p_1~V_1^n=p_2~V_2^n} \\[5px]
\label{4375}
\boxed{T~V^{n-1}=\text{konstant}} &~~\Rightarrow~~ \boxed{T_1~V_1^{n-1}=T_2~V_2^{n-1}} \\[5px]
\label{7991}
\boxed{T^n~p^{1-n}=\text{konstant}} &~~\Rightarrow~~ \boxed{T_1^n~p_1^{1-n}=T_2^n~p_2^{1-n}} \\[5px]
\end{align}

Darüber hinaus gilt für die Änderung der inneren Energie \(\Delta U\) - wie für alle thermodynamischen Zustandsänderungen von idealen Gasen - die prozessunabhängige Zustandsgleichung

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{9719}
&\boxed{ \Delta U = c_v~m~\left(T_2-T_1 \right)} \\[5px]
\end{align}

Die Volumenänderungsarbeit \(W_V\) erhält allgemein man durch Integration der \(p(V)\)-Funktion des polytropen Prozesses:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{www}
&\boxed{W_V = - \int\limits_{V_1}^{V_2} p(V) ~ dV}\\[5px]
\end{align}

Für die Ermittlung der Volumenänderungsarbeit muss also die Funktion \(p(V)\) bekannt sein. Wird eine polytrope Zustandsänderung ausgehend eines Anfangszustandes 1 mit den Größen (\(p_1\) und \(V_1\)) beschrieben, so kann dann durch Gleichung (\ref{2716}) eine allgemeine Beziehung zu einem beliebig weiteren Zustand 2 (\(p\), \(V\)) hergestellt werden. Somit ergibt sich der Druckverlauf \(p(V)\) wie folgt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{9891}
&p_1~V_1^n=p~V^n \\[5px]
\label{1227}
&p = \underbrace{p_1~V_1^n}_{=\text{konstant}} \cdot {1 \over V^n} \\[5px]
\label{9377}
&\boxed{p(V)=p_1~V_1^n \cdot {1 \over V^n}} \\[5px]
\end{align}

Um die Volumenänderungsarbeit \(W_V\) zu berechnen kann nun die Druckfunktion (\ref{9377}) innerhalb der Grenzen \(V_1\) bis \(V_2\) integriert werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{9445}
W_V &= - \int\limits_{V_1}^{V_2} p(V) ~ dV \\[5px]
&= - \int\limits_{V_1}^{V_2} \underbrace{p_1~V_1^n}_{=\text{konstant}} \cdot {1 \over V^n} ~ dV \\[5px]
&= - p_1~V_1^n~\int\limits_{V_1}^{V_2} {V^{-n}} ~ dV \\[5px]
&= - p_1~V_1^n~ \left[{1 \over {1-n}}~V^{1-n} \right]_{V_1}^{V_2} \\[5px]
&= - {{p_1~V_1^n} \over {1-n}} ~ \left[V_2^{1-n}-V_1^{1-n} \right] \\[5px]
&= {{p_1~V_1^n} \over {n-1}} ~ \left[V_2^{1-n}-V_1^{1-n} \right] ~~~ \text{nach ausklammern von } V_1^{1-n} \text{ folgt:} \\[5px]
&= {{p_1~V_1^n~V_1^{1-n}} \over {n-1}} ~ \left[{V_2^{1-n} \over V_1^{1-n}} -1 \right] \\[5px]
\end{align}

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{8254}
\boxed{W_V= {{p_1~V_1} \over {n-1}} ~ \left[\left(V_2 \over V_1 \right)^{1-n} -1 \right]}
\end{align}

Die Volumenänderungsarbeit kann vor allem anhand der Temperaturen relativ einfach ermittelt werden. Hierzu wird Gleichung (\ref{4375}) mit Gleichung (\ref{8254}) kombiniert und zusätzlich der Zusammenhang aus der allgemeinen Gasgleichung mit \(p \cdot V=m \cdot R_S \cdot T\) genutzt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
W_V &= {\overbrace{p_1~V_1}^{=m~R_S~T_1}\over {n-1}} ~ \left[\left(V_2 \over V_1 \right)^{1-n} -1 \right] \text{mit: } ~{V_2 \over V_1} = \left(T_1 \over T_2 \right)^{1 \over {n-1}}=\left(T_2 \over T_1 \right)^{1 \over {1-n}}~ \text{ folgt : } \\[5px]
&= {{m~R_S~T_1} \over {n-1}} ~ \left[{T_2 \over T_1} -1 \right] \\[5px]
\label{m}
&= {{R_S \over {n-1}}} ~m~ \left(T_2 - T_1 \right) ~~~\text{mit } \underline{R_S=c_p-c_v} ~~~\text{folgt:} \\[5px]
&= {{{c_p-c_v} \over {n-1}}} ~m~ \left(T_2 - T_1 \right) \\[5px]
&= {{{{c_p\over c_v}-1} \over {n-1}}} ~c_v~m~ \left(T_2 - T_1 \right) ~~~\text{mit } \underline{\kappa={c_p \over c_v}} ~~~\text{folgt:} \\[5px]
\label{eq:9418}
\end{align}

\begin{align}\;\;\;\;\;
\boxed{W_V=\left[{{\kappa-1} \over {n-1}}\right] ~c_v~m~ \left(T_2 - T_1 \right)}
\label{2604}
\end{align}

Zuletzt bleibt noch die Ermittlung des Wärmeumsatzes \(Q\) während eines polytropen Prozesses. Diese ergibt sich aus dem ersten Hauptsatz über die Differenz von innerer Energieänderung \(\Delta U\) [Gleichung (\ref{9719})] und Volumenänderungsarbeit \(W_V\) [Gleichung (\ref{m})]:

\begin{align}\;\;\;\;\;
Q &= \Delta U - W_V \\[5px]
&= c_v~m~\left(T_2-T_1 \right) - {R_S \over {n-1}} ~m~ \left(T_2 - T_1 \right) \\[5px]
&= \left[c_v-{R_S \over {n-1}}\right]~m~\left(T_2-T_1 \right) ~~~\text{mit } \underline{R_S=c_p-c_v} ~~~\text{folgt:} \\[5px]
&= \left[c_v-{{c_p-c_v} \over {n-1}}\right]~m~\left(T_2-T_1 \right) \\[5px]
&= \left[{{c_v~(n-1)}\over {n-1}}-{{c_p-c_v} \over {n-1}}\right]~m~\left(T_2-T_1 \right) \\[5px]
&= \left[{{c_v~n-c_v-c_p+c_v} \over {n-1}}\right]~m~\left(T_2-T_1 \right) \\[5px]
&= \left[{{c_v~n-c_p} \over {n-1}}\right]~m~\left(T_2-T_1 \right) \\[5px]
&= \left[{{n-{c_p \over c_v}} \over {n-1}}\right]~c_v~m~\left(T_2-T_1 \right) ~~~\text{mit } \underline{\kappa={c_p \over c_v}} ~~~\text{folgt:} \\[5px]
\label{eq:7090}
\end{align}

\begin{align}\;\;\;\;\;
\boxed{Q= \left[{{n-\kappa} \over {n-1}}\right]~c_v~m~\left(T_2-T_1 \right)}
\label{eq:8691}
\end{align}

Die gesamten hergeleiteten Gleichungen können in Kombination mit Gleichung (\ref{4375}) bzw. Gleichung (\ref{7991}) auch über das Volumen- bzw. Druckverhältnis ermittelt werden:

\begin{alignat}{2}\;\;\;\;\;
\label{6005}
&{W_V = \left[{{\kappa-1} \over {n-1}}\right] ~c_v~m~\left(T_2-T_1 \right)}& &= \left[{{\kappa-1} \over {n-1}}\right] ~c_v~m~T_1~\left[\left(T_2\over T_1\right)-1 \right] \\[5px]
&&&= \left[{{\kappa-1} \over {n-1}}\right] ~c_v~m~T_1~\left[{\left(V_1 \over V_2 \right)^{n-1}}-1 \right] \\[5px]
&&&= \left[{{\kappa-1} \over {n-1}}\right] ~c_v~m~T_1~\left[{\left(p_1 \over p_2 \right)^{{1-n} \over n}}-1 \right] \\[20px]
\label{1733}
&{Q = \left[{{n-\kappa} \over {n-1}}\right] ~c_v~m~\left(T_2-T_1 \right)}& &= \left[{{n-\kappa} \over {n-1}}\right] ~c_v~m~T_1~\left[\left(T_2\over T_1\right)-1 \right] \\[5px]
&&&= \left[{{n-\kappa} \over {n-1}}\right] ~c_v~m~T_1~\left[{\left(V_1 \over V_2 \right)^{n-1}}-1 \right] \\[5px]
&&&= \left[{{n-\kappa} \over {n-1}}\right] ~c_v~m~T_1~\left[{\left(p_1 \over p_2 \right)^{{1-n} \over n}}-1 \right] \\[20px]
&{\Delta U = c_v~m~\left(T_2-T_1 \right)}& &= c_v~m~T_1~\left[{T_2 \over T_1}-1 \right] \\[5px]
&&&= c_v~m~T_1~\left[{\left(V_1 \over V_2 \right)^{n-1}}-1 \right] \\[5px]
&&&=c_v~m~T_1~\left[{\left(p_1 \over p_2 \right)^{{1-n} \over n}}-1 \right] \\[5px]
\end{alignat}

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