Volumenänderungsarbeit und Wärmeumsatz

Für polytrope Prozesse wurden im vorherigen Abschnitt die Zustandsgleichungen wie folgt hergeleitet (diese beinhalten auch die Spezialfälle eines isobaren, isothermen, isentropen und isochoren Prozesses!):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{2716}
\boxed{p~V^n=\text{konstant}} &~~\Rightarrow~~ \boxed{p_1~V_1^n=p_2~V_2^n} \\[5px]
\label{4375}
\boxed{T~V^{n-1}=\text{konstant}} &~~\Rightarrow~~ \boxed{T_1~V_1^{n-1}=T_2~V_2^{n-1}} \\[5px]
\label{7991}
\boxed{T^n~p^{1-n}=\text{konstant}} &~~\Rightarrow~~ \boxed{T_1^n~p_1^{1-n}=T_2^n~p_2^{1-n}} \\[5px]
\text{ mit: }~~ &n=0 ~~~\text{für isobraren Prozess} \nonumber \\
&n=1 ~~~\text{für isothermen Prozess} \nonumber \\
&n=\kappa ~~~\text{für isentropen Prozess} \nonumber \\
&n=\infty ~~~\text{für isochoren Prozess} \nonumber \\
\end{align}

Neben diesen Zustandsgleichungen lassen sich auch allgemeingültige Gleichungen zur Ermittlung der Volumenänderungsarbeit \(W_V\), des Wärmeumsatzes \(Q\) und der Änderung der inneren Energie \(\Delta U\) für polytrope Prozesse finden. Die Herleitung hierzu wird in einem gesonderten Abschnitt näher erläutert. In diesem Abschnitt sollen die Gleichungen lediglich vorgestellt und diskutiert werden.

\begin{alignat}{2}\;\;\;\;\;
\label{4862}
&\boxed{W_V = \left[{{\kappa-1} \over {n-1}}\right] ~c_v~m~\left(T_2-T_1 \right)}& &= \left[{{\kappa-1} \over {n-1}}\right] ~c_v~m~T_1~\left[\left(T_2\over T_1\right)-1 \right] \\[5px]
&&&= \left[{{\kappa-1} \over {n-1}}\right] ~c_v~m~T_1~\left[{\left(V_1 \over V_2 \right)^{n-1}}-1 \right] \\[5px]
&&&= \left[{{\kappa-1} \over {n-1}}\right] ~c_v~m~T_1~\left[{\left(p_1 \over p_2 \right)^{{1-n} \over n}}-1 \right] \\[20px]
\label{5451}
&\boxed{Q = \left[{{n-\kappa} \over {n-1}}\right] ~c_v~m~\left(T_2-T_1 \right)}& &= \left[{{n-\kappa} \over {n-1}}\right] ~c_v~m~T_1~\left[\left(T_2\over T_1\right)-1 \right] \\[5px]
&&&= \left[{{n-\kappa} \over {n-1}}\right] ~c_v~m~T_1~\left[{\left(V_1 \over V_2 \right)^{n-1}}-1 \right] \\[5px]
&&&= \left[{{n-\kappa} \over {n-1}}\right] ~c_v~m~T_1~\left[{\left(p_1 \over p_2 \right)^{{1-n} \over n}}-1 \right] \\[20px]
\label{9277}
&\boxed{\Delta U = c_v~m~\left(T_2-T_1 \right)}& &= c_v~m~T_1~\left[{T_2 \over T_1}-1 \right] \\[5px]
&&&= c_v~m~T_1~\left[{\left(V_1 \over V_2 \right)^{n-1}}-1 \right] \\[5px]
&&&=c_v~m~T_1~\left[{\left(p_1 \over p_2 \right)^{{1-n} \over n}}-1 \right] \\[5px]
\end{alignat}

Beachte, dass der Isentropenexponent \(\kappa\) in den oberen Gleichungen lediglich als Quotient der Wärmekapazitäten \(\frac{c_p}{c_v}\) aufzufassen ist. Man sollte also nicht denken, dass die Gleichungen lediglich für den isentropen Prozess gelten, nur weil sich darin ein \(\kappa\) verbirgt! Grundsätzlich können diese Gleichungen für jeden beliebigen, polytropen Prozess angewendet werden (die Spezialfälle eingeschlossen!).

Aufgepasst werden muss jedoch für den Spezialfall \(n\)=1 (isothermer Prozess), da hierbei der Nenner in den Gleichungen null wird. Für diesen Fall müssen die speziellen Gleichungen für den isothermen Prozess benutzt werden. Mit hinreichender Genauigkeit kann als Alternative jedoch ein Exponentenwert nahe Eins gewählt werden, wie bspw. \(n\)=0,999.

Der Term \(c_v \cdot m \cdot (T_2-T_1)\) in den Gleichungen (\ref{4862}) und (\ref{5451}) entspricht letztlich der Änderung der inneren Energie \(\Delta U\) [siehe Gleichung (\ref{9277})]. Somit kann die Volumenänderungsarbeit \(W_V\) und der Wärmeumsatz \(Q\) auch in Abhängigkeit der Änderung der inneren Energie \(\Delta U\) angegeben werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{6763}
&\boxed{W_V= \left[{{\kappa-1} \over {n-1}}\right] ~\Delta U} \\[5px]
&\boxed{Q= \left[{{n-\kappa} \over {n-1}}\right] ~\Delta U} \\[5px]
\end{align}

Es wird nun offensichtlich, dass der Arbeits- und Wärmeumsatz für einen gegebenen polytropen Prozess stets in einem konstanten Verhältnis stehen [fahre hierzu mit der Maus über die untere Abbildung]:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\require{cancel}
\label{3657}
{W_V \over Q} = {{\left[{{\kappa-1} \over \bcancel{n-1}}\right]~\bcancel{\Delta U}} \over {\left[{{n-\kappa} \over \bcancel{n-1}}\right]~\bcancel{\Delta U}}}
= { {\kappa-1} \over {n-\kappa} } \\[5px]
\end{align}

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{3285}
\boxed{{ W_V \over Q } = { {\kappa-1} \over {n-\kappa} }} \\[5px]
\end{align}

Polytroper Prozess, polytrope Zustandsänderung, Wärme, Arbeit, Änderung der inneren Energie, Gleichungen, Gleichung

Interaktive Abbildung: Energieumsätze der polytropen Prozesse

So gilt bspw. für jeden isobaren Prozess (\(n\)=0) von Luft (\(\kappa\)=1,4), dass das Verhältnis von Volumenänderungsarbeit zu Wärmeumsatz (-)0,286 beträgt. Für eine isobare Expansion wird also immer 28,6% der zugeführten Wärme in Volumenänderungsarbeit umgesetzt. Die restlichen 71,4% verbleiben im Gas als innere Energie. Dieses Ergebnis ist unabhängig davon mit welchem Druck, Volumen oder mit welcher Temperatur die isobare Zustandsänderung abläuft! Lediglich die Gasart hat je nach \(\kappa\)-Wert Einfluss auf die Effektivität mit der die zugeführte Wärme in Volumenänderungsarbeit umgewandelt wird. So lässt sich bspw. der Anteil der Volumenänderungsarbeit auf 40,1% steigern, wenn für die isobare Expansion anstelle von Luft hingegen Helium mit einem Wert von \(\kappa\)=1,67 als Arbeitsgas genutzt wird!

Für einen thermodynamischen Prozess der mit einem Polytropenexponent \(n<\kappa\) beschrieben wird, wird die Verhältnisgleichung (\ref{3285}) negativ. Dies bedeutet, dass Volumenänderungsarbeit und Wärmeumsatz offensichtlich entgegengesetzte Vorzeichen besitzen. Somit muss dem Gas während einer Expansion (\(W_V<0\)) Wärme zugeführt werden (\(Q>0\)). Umgekehrt muss bei solchen Prozessen Wärme abgeführt werden (\(Q<0\)), wenn das Gas komprimiert wird (\(W_V>0\)).

Für eine Zustandsänderung, die hingegen mit einem Polytropenexponent n>\(\kappa\) beschrieben wird, ist das Verhältnis von Arbeits- und Wärmeumsatz positiv. Beide Energieumsätze haben demzufolge identische Vorzeichen. Dies bedeutet, dass das Gas während einer Expansion (\(W_V\)<0) Wärme abgibt (\(Q\)<0). Umgekehrt findet eine Wärmezufuhr bei solchen Prozessen statt (\(Q\)>0), während das Gas gleichzeitig sein Volumen verkleinert (\(W\)>0).

Für den Sonderfall eines Prozesses mit einem Isentropenexponenten \(n \rightarrow \kappa\) nähert sich der Nenner in der Verhältnisgleichung (\ref{3285}) immer mehr dem Wert null. Folglich nimmt der Wärmeumsatz (bezogen auf die Volumenänderungsarbeit) ab und ist bei \(n=\kappa\) schließlich null. Man erhält für diesen Spezialfall den isentropen Prozess, der sich ja gerade dadurch auszeichnet, dass kein Wärmeumsatz stattfindet.

\begin{align}\;\;\;\;\;
{ W_V \over Q } = { {\kappa-1} \over {n-\kappa} } \overset{n\rightarrow\kappa}= \infty
~~~\Rightarrow~~~Q= {W_V\over \infty} = 0
\nonumber \\[5px]
\end{align}

Umgekehrt nähert sich für einen Prozess mit einem Isentropenexponenten \(n \rightarrow \infty\) der Nenner in der Verhältnisgleichung (\ref{3285}) mehr und mehr dem Wert Unendlich. Bezogen auf den Wärmeumsatz wird dann offensichtlich immer weniger Arbeit verrichtet. Schließlich erhält man für den Sonderfall \(n=\infty\) keinen Arbeitsumsatz mehr. Dies entspricht dem isochoren Prozess, der sich genau dadurch auszeichnet, dass keine Arbeit verrichtet wird.

\begin{align}\;\;\;\;\;
{ W_V \over Q } = { {\kappa-1} \over {n-\kappa} } \overset{n\rightarrow\infty}= 0
~~~\Rightarrow~~~W_V= {Q \cdot 0} = 0
\nonumber \\[5px]
\end{align}

Noch ein weiterer Sonderfall zeigt sich anhand der Verhältnisgleichung (\ref{3285}) für \(n\)=1. In diesem Fall ist nämlich der Arbeitsumsatz genauso groß wie der Wärmeumsatz (mit umgekehrten Vorzeichen). Die Energie die in Form von Wärme am Gas umgesetzt wird, wird also vollständig in Arbeit umgewandelt und umgekehrt. Somit wird die innere Energie des Gases weder verringert noch vergrößert, d.h. sie bleibt konstant. Dies bedeutet in letzter Konsequenz auch eine konstante Temperatur. Der Spezialfall \(n\)=1 entspricht also dem isothermen Prozess, der genau dieses charakteristische Merkmal der konstanten Temperatur aufweist.

\begin{align}\;\;\;\;\;
{ W_V \over Q } = { {\kappa-1} \over {n-\kappa} } \overset{n\rightarrow 1}= -1
~~~\Rightarrow~~~W_V= -Q
\nonumber \\[5px]
\end{align}

Das untere Diagramm zeigt für Luft (\(\kappa\)=1,4) nochmals explizit den Betrag des Verhältnisses von Volumenänderungsarbeit zu Wärmeumsatz in Abhängigkeit des Polytropenexponenten.

Polytroper Prozess, polytrope Zustandsänderung, Wärme, Arbeit, Diagramm, Verhältnis, Polytropenexponent

Abbildung: Verhältnis von Volumenänderungsarbeit und Wärme in Abhängigkeit des Polytropenexponenten

Im nächsten Abschnitt sind die Herleitungen der Gleichungen für die Volumenarbeit und die umgesetzte Wärme gezeigt.

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