Einleitung

Die im Kapitel Spezielle Prozesse vorgestellten Zustandsänderungen sind im unten abgebildeten Volumen-Druck-Diagramm nochmals gemeinsam dargestellt. Alle Prozesse finden dabei ausgehend eines Anfangsvolumens \(V_1\) statt. Die Prozesse zeigen sowohl einen Expansionsvorgang als auch einen Kompressionsvorgang. Für die isentrope Zustandsänderung wurde der Isentropenexponent von Luft mit \(\kappa=\)1,4 gewählt.

Polytroper Prozess, polytrope Zustandsänderung, isochor, isobar, isotherm, isentrop, isochore, isobare, isotherme, isentrope, Zustandsänderung, Verallgemeinerung

Abbildung: Volumen-Druck-Diagramm von speziellen Prozessen

Obwohl sich die unterschiedlichen thermodynamischen Prozesse auf den ersten Blick voneinander unterscheiden, so stellt man bei näherer Untersuchung Gemeinsamkeiten fest. Diese werden deutlich, wenn man die qualitativen Verläufe des Druckes in Abhängigkeit des Volumens näher betrachtet. So gelten für die jeweiligen Prozesse folgende Zusammenhänge zwischen Druck \(p\) und Volumen \(V\):

\begin{alignat}{3}
\;\;\;\;\; \text{isobarer Prozess: } ~~~ &p=\text{konstant} &&~~~~~~ \Rightarrow ~~~ &&& { p~V^0 =\text{konstant}} \\[5px]
\;\;\;\;\; \text{isothermer Prozess: } ~~~ &p\sim {1\over V} &&~~~~~~ \Rightarrow ~~~ &&& { p~V^1 =\text{konstant}} \\[5px]
\;\;\;\;\; \text{isentroper Prozess: } ~~~ &p\sim {1\over V^{\kappa}} &&~~~~~~ \Rightarrow ~~~ &&& { p~V^{\kappa} =\text{konstant}} \\[5px]
\;\;\;\;\; \text{isochorer Prozess: } ~~~ &V=\text{konstant} &&~~~~~~ \Rightarrow ~~~ &&& { p~V^{\infty} =\text{konstant}} \\[5px]
\label{8858}
\end{alignat}

Aus der Gegenüberstellung wird deutlich, dass sich die gesamten speziellen Prozesse (isobar, isotherm, isentrop, isochor) letztlich auf den Zusammenhang \(p \cdot V^n=\text{konstant}\) verallgemeinern lassen, wobei sich für jeden Prozess ein ganz spezieller Exponent \(n\) finden lässt:

\begin{align}
\label{3445}
\;\;\;\;\; \text{Verallgemeinerung: } ~~~ & \boxed{p~V^{n} =\text{konstant}} ~~~\text{ bzw. }~~~ {p_1~V_1^n}={p_2~V_2^n} \\[5px]
\end{align}

Weshalb für den isochoren Prozess \(n=\infty\) gilt, wird rasch deutlich, wenn man die Gleichung (\ref{3445}) nach dem Volumen \(V\) umstellt und anschließend \(n=\infty\) setzt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
p~V^n=\text{konstant} ~~~\Rightarrow ~~~
V ={\left(\text{konstant} \over p \right)^{1 \over n}}
={\text{konstant} \over p^{1 \over n}}
\overset{n=\infty}={\text{konstant} \over \underbrace{p^0}_{=1}}
=\text{konstant !} \nonumber \\[5px]
\end{align}

Sowohl für den Zusammenhang zwischen Temperatur \(T\) und Volumen \(V\) als auch zwischen Temperatur und Druck \(p\) zeigen sich die analogen Gemeinsamkeiten der Prozesse. Diese Gemeinsamkeiten können durch Verknüpfung der allgemeinen Gasgleichung (\ref{g})

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{g}
&p \cdot V = R_S \cdot m \cdot T ~~~~~\text{allgemeine Gasgleichung} \\[5px]
\end{align}

mit der Grundgleichung (\ref{3445}) hergeleitet werden. Somit lassen sich alle bisher behandelten Prozesse auf folgende (gemeinsame) Gesetzmäßigkeiten reduzieren:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{2716}
\boxed{p~V^n=\text{konstant}} &~~\Rightarrow~~ \boxed{p_1~V_1^n=p_2~V_2^n} \\[5px]
\label{4375}
\boxed{T~V^{n-1}=\text{konstant}} &~~\Rightarrow~~ \boxed{T_1~V_1^{n-1}=T_2~V_2^{n-1}} \\[5px]
\label{7991}
\boxed{T^n~p^{1-n}=\text{konstant}} &~~\Rightarrow~~ \boxed{T_1^n~p_1^{1-n}=T_2^n~p_2^{1-n}} \\[5px]
\text{ mit: }~~ &n=0 ~~~\text{für isobraren Prozess} \nonumber \\
&n=1 ~~~\text{für isothermen Prozess} \nonumber \\
&n=\kappa ~~~\text{für isentropen Prozess} \nonumber \\
&n=\infty ~~~\text{für isochoren Prozess} \nonumber \\
\end{align}

Der Exponent \(n\) bleibt jedoch nicht auf die Spezialfälle (isobar, isotherm, isentrop und isotherm) beschränkt. Grundsätzlich kann der Exponent beliebig gewählt werden! Die Wahl hängt im entscheidenden Maße davon ab, durch welchen Wert des Exponenten die in der Realität ablaufende Zustandsänderung am besten beschrieben werden kann. Schließlich laufen die meisten thermodynamischen Prozesse in der Realität nie exakt isobar, isotherm, isentrop oder isochor ab. Das unten abgebildete Diagramm zeigt für beliebige Werte von \(n\) die zugehörigen Druckverläufe. Je nachdem welche Kurve dem tatsächlichen Prozess am Nächsten kommt, wäre dann der entsprechende Exponent zu wählen. Prinzipiell sind auch negative Exponenten denkbar!

Polytroper Prozess, polytrope Zustandsänderung, isochor, isobar, isotherm, isentrop, isochore, isobare, isotherme, isentrope, Zustandsänderung, Verallgemeinerung

Abbildung: Polytrope Prozesse

Beachte, dass letztlich die gesamten abgebildeten Kurven alle zur selben Kurvenschar gehören, die durch die Gleichung (\ref{2716}) beschrieben werden.

Da mit den Gleichung (\ref{2716}) bis (\ref{7991}) eine Vielzahl an thermodynamischen Vorgängen beschrieben werden können (die Spezialfälle eingeschlossen), bezeichnet man die dahinterstehenden Prozesse auch ganz allgemein als polytrope Prozesse ("poly"=viel). Der Exponent \(n\) wird deshalb auch Polytropenexponent genannt. Die isobaren, isothermen, isentropen und isochoren Prozesse sind demnach lediglich als Spezialfälle eines im Allgemeinen polytropen Prozesses anzusehen!

Auch die Prozessgrößen wie Arbeitsumsatz und Wärmeumsatz lassen sich für die polytrope Zustandsänderung verallgemeinern. Dies wird im nächsten Abschnitt behandelt.

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