Exkurs: Herleitung der Volumenänderungsarbeit

Dass die im vorherigen Abschnitt erläuterte Fläche unter der Zustandskurve in einem Volumen-Druck-Diagramm der vom Gas verrichteten Volumenänderungsarbeit entspricht, soll im Folgenden gezeigt werden. Dabei wird wieder auf das bereits erläuterte Expansionsbeispiel zurückgegriffen. Für die Herleitung der Volumenarbeit wird zunächst eine sehr kleine Volumenänderung ausgehend eines beliebigen Zustandes betrachtet. Die Volumenänderung zwischen den beiden Zustandspunkten soll dabei so klein gewählt werden, dass sich der Druck dabei (fast) nicht ändert und somit als nahezu konstant betrachtet werden kann [fahre hierzu mit der Maus über die Abbildung].

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Interaktive Abbildung: Betrachtung endlich kleiner Volumenänderungen

Während dieser sehr kleinen Volumenänderung bringt das Gas dann offensichtlich eine (nahezu) konstante Kraft \(F\) auf. Diese Kraft ermittelt sich aus dem Produkt des (nahezu) konstanten Gasdruckes \(p\) und der Kolbenfläche \(A\), auf die der Druck wirkt (zur Definition des Druckes siehe hier):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{f}
&F = p \cdot A \\[5px]
\end{align}

Die währenddessen vollzogene Volumenänderung \(\Delta V\) ergibt sich dabei aus der Kolbenfläche \(A\) und der entsprechenden Kolbenverschiebung \(\Delta s\). Umgekehrt kann anhand der Volumenänderung auf die Kolbenverschiebung geschlossen werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{s}
&\Delta V = A \cdot \Delta s \;\;\; \Rightarrow \;\;\; \Delta s = {{\Delta V} \over A} \\[5px]
\end{align}

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Interaktive Abbildung: Bestimmung der Volumenänderungsarbeit

In dem betrachteten Volumenintervall wirkt demzufolge also die Kraft \(F=p \cdot A\) entlang der Wegstrecke \(\Delta s=\frac{\Delta V}{A}\). Gemäß der Definition der Arbeit als Produkt von Kraft \(F\) und Wegstrecke \(\Delta s\), ergibt sich die in diesem Intervall umgesetzte Volumenänderungsarbeit \(\Delta W_V\) somit wie folgt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\require{cancel}
\label{w}
&\Delta W_V = F \cdot \Delta s = p \cdot \bcancel{A} \cdot {{\Delta V} \over \bcancel{A}} = p \cdot \Delta V \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass bei einer Volumenvergrößerung (\(\Delta V>0\)) das Gas offensichtlich Arbeit verrichtet. Gemäß der Vorzeichenkonvention muss die Volumenänderungsarbeit somit einen negativen Wert besitzen (\(W_V<0\)). Umgekehrt trägt die Volumenänderungsarbeit ein positives Vorzeichen (\(W_V>0\)), wenn Arbeit am Gas durch Kompression bzw. durch Volumenverkleinerung verrichtet wird (\(\Delta V<0\)). Um dieser Konvention Rechnung zu tragen, muss korrekterweise ein Minuszeichen in Gleichung (\ref{w}) eingeführt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{dw}
&\Delta W_V = - p \cdot \Delta V \;\;\; \text{mit} \;\;\; p= \text{konstant} \\[5px]
\end{align}

Die Volumenänderungsarbeit in dem betrachteten Intervall ergibt sich folglich aus dem Produkt des als konstant angenommenem Drucks und der Volumenänderung. Im Volumen-Druck-Diagramm lässt sich diese Volumenänderungsarbeit als Rechteckfläche darstellen, mit der Breite \(\Delta V\) und der Höhe \(p\).

Um die gesamte Volumenänderungsarbeit \(W_V\) des Prozesses - d.h. vom Anfangsvolumen \(V_1\) bis zum Endvolumen \(V_2\) - zu ermitteln, müsste dieser in sehr viele kleine einzelne Volumenintervalle unterteilt werden. Von jedem Volumenintervall müsste dann die jeweilige Volumenänderungsarbeit \(\Delta W_V\) bestimmt und anschließend zur Gesamtvolumenänderungsarbeit \(W_V\) aufzusummieren werden (das der Vorzeichenkonvention geschuldete Minuszeichen wird dabei vor das Summenzeichen geschrieben):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{ww}
&W_V = \sum_{V_1}^{V_2} \Delta W_V = - \sum_{V_1}^{V_2} p \cdot \Delta V  \\[5px]
\end{align}

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Interaktive Abbildung: Bestimmung der Volumenänderungsarbeit für unendliche kleine Volumenintervalle

Auf die oben beschriebene Weise die gesamte Volumenänderungsarbeit zu ermitteln, wäre zum einen sehr aufwendig und zum anderen würde man stets kleine Fehler machen, da der Druck innerhalb der Volumenintervalle \(\Delta_V\) eben nicht konstant ist sondern leicht variiert. Lediglich unter der Annahme unendlich kleiner Intervalle (\(\Delta_V \rightarrow 0\)) erhielte man ein exaktes Ergebnis.

Genau an dieser Stelle setzt die Mathematik an und bietet eine bessere Lösung. Werden die einzelnen Volumenintervalle nämlich als unendlich klein betrachtet, so geht die makroskopische Volumenänderung \(\Delta V\) in die differentielle Volumenänderung \(\text{d}V\) über und aus dem Summenzeichen wird ein Integral [fahre hierzu mit der Maus über die obere Abbildung]. Ist der Druckverlauf in Abhängigkeit des Volumens bekannt - d.h. die Funktion \(p(V)\) - so lässt sich die Volumenänderungsarbeit \(W_V\) ganz allgemein durch das folgende Integral bestimmen:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{www}
&\boxed{W_V = - \int\limits_{V_1}^{V_2} p(V) ~ \text{d}V}\\[5px]
\end{align}

Anschaulich wird mit einem Integral die Fläche unter einer Kurve ermittelt. Somit wird auch an dieser Stelle nochmals deutlich, dass die Fläche unter der \(p(V)\)-Kurve, der Volumenänderungsarbeit entspricht.

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