Volumenänderungsarbeit

Im vorherigen Abschnitt wurde das unten abgebildete Beispiel betrachtet, bei dem ein Gas in einem Zylinder durch Wärmezufuhr \(Q>0\) erhitzt wird, um damit Arbeit \(W_g<0\) verrichten zu können (Anheben eines Gewichtes). Wie dort erläutert, wird dabei ein Großteil der zugeführten Wärmeenergie zur Temperaturerhöhung des Gases genutzt, um den Druck im Zylinder erhöhen und schließlich Arbeit verrichten zu können. Diese Temperaturerhöhung macht sich energetisch in einer Änderung der inneren Energie \(\Delta U>0\) des Gases bemerkbar [fahre hierzu mit der Maus über die untere Abbildung und entferne sie anschließend wieder]. Der erste Hauptsatz der Thermodynamik lässt sich für diesen Fall wie folgt ausdrucken:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{1}
&\boxed{W_g + Q = \Delta U} \\[5px]
\end{align}

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Interaktive Animation: Expansion eines Gases

Dem Gas im Zylinder kommt offensichtlich eine zentrale Bedeutung zu. Denn die in Gleichung (\ref{1}) genannten Energiebeträge werden allesamt am Gas umgesetzt. Das Gas wird erwärmt (Energieaufnahme \(Q\)), es verrichtet Arbeit (Energieabgabe \(W_g\)) und behält den Energierest sozusagen für sich (Energieerhalt \(\Delta U\)). Dabei durchläuft das Gas während des gesamten Prozesses verschiedene Zustände, die durch unterschiedliche Volumina, Drücke und Temperaturen gekennzeichnet sind. Um solche thermodynamischen Zustandsänderungen des Gases anschaulich abzubilden, werden diese häufig in einem Volumen-Druck-Diagramm dargestellt. Für das oben genannte Expansionsbeispiel stellt sich der Prozess wie abgebildet dar.

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Interaktive Abbildung: Volumen-Druck-Diagramm

Zur Erläuterung des Druckverlaufs: Zu Beginn des Prozesses steht der Gasdruck mit dem Luftdruck von 1 bar im Gleichgewicht, sodass also auch das im Zylinder befindliche Gas einen Druck von 1 bar aufweist. Das Gas besitzt in diesem Ausgangszustand ein Volumen von 50 ml, wobei die Temperatur 20 °C beträgt. Aufgrund der Wärmezufuhr und den damit verbundenen Temperaturanstieg erhöht sich nun der Druck. Gleichzeitig hat dies zur Folge, dass der Kolben hierdurch bewegt wird und das Gewicht angehoben wird. Das Gasvolumen vergrößert sich dabei. Aufgrund des größer werdenden Hebelverhältnisses beim Anheben muss das Gas in der Folge immer mehr Kraft aufbringen um das Gewicht weiter anheben zu können. Der Gasdruck muss bei weiterer Volumenvergrößerung folglich stetig zunehmen. Schließlich ist das Gewicht bei einem Gasvolumen von 142,5 ml vollständig angehoben. Druck beträgt in diesem Endzustand rund 2 bar bei einer Gastemperatur von 1413 °C.

In einem Volumen-Druck-Diagramm kann nicht nur der Prozessablauf abgebildet werden sondern es bietet auch die Möglichkeit den Arbeitsumsatz des Gases anschaulich zu ermitteln. Dieser Arbeitsumsatz ergibt sich nämlich als Fläche unter der Zustandskurve! Dies zeigt auch ein kurzer Vergleich der Einheiten, die auf den Achsen aufgetragen sind und bei einer Flächenberechnung entsprechend miteinander zu multiplizieren sind:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\text{[Fläche]} = [p] \cdot [V] = \frac{\text{N}}{\text{m²}} \cdot \text{m³} = \text{N} \cdot \text{m} = \text{J} = \text{[Arbeit]}   \\[5px]
\end{align}

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Abbildung: Volumenänderungsarbeit im Volumen-Druck-Diagramm

Eine Fläche unter der Zustandskurve und damit ein Arbeitsumsatz kann sich natürlich nur dann ergeben, wenn sich bei einer Zustandsänderung das Gasvolumen ändert. Deshalb bezeichnet man diesen Arbeitsumsatz des Gases auch als Volumenänderungsarbeit \(W_V\) (kurz: Volumenarbeit). Mathematisch lässt sich diese Volumenänderungsarbeit als Integral der Druckfunktion \(p(V)\) innerhalb der Grenzen zwischen Anfangsvolumen \(V_1\) und Endvolumen \(V_2\) bestimmen:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\boxed{W_V = - \int\limits_{V_1}^{V_2} p(V) ~ \text{d}V} ~~~\text{Volumenänderungsarbeit}  \\[5px]
\end{align}

Eine ausführliche Herleitung der Formel für die Volumenänderungsarbeit findet sich im anschließenden Kapitel wieder.

Die Volumenänderungsarbeit \(W_V\) entspricht im reibungsfreien Fall demjenigen Arbeitsumsatz \(W_g\) den das Gas auch nach außen abgibt (\(W_V=W_g\)), um damit das Gewicht anzuheben (und gegen den äußeren Umgebungsdruck "anzukämpfen"). Läuft der Prozess hingegen nicht reibungsfrei ab, dann gibt das Gas nicht mehr die gesamte Volumenänderungsarbeit nach außen über die Systemgrenze ab (\(W_V \neq W_g\)) sondern ein Teil wird im Inneren des Zylinders dissipiert und führt zu einer zusätzlichen Erhöhung der Temperatur und damit zu einer Erhöhung der inneren Energie. Auf diese Dissipationsarbeit wird im nächsten Abschnitt näher eingegangen.

Ist bei einem thermodynamischen Prozess der Anfangs- und der Endzustand des Gases bekannt, so ist es für die Ermittlung der Volumenänderungsarbeit zwangsweise nötig zu wissen, wie der Prozess genau abläuft. Denn je nach Prozessführung können sich unter Umständen gänzlich unterschiedliche Flächen unter den Zustandskurven und somit unterschiedliche Volumenänderungsarbeiten ergeben.

Im Vergleich zum oben beschriebenen Anhebeprozess mittels Zahnstangenmechanismus sind zwei weitere Anhebevorgänge über andere Hebelmechanismen im \(p(V)\)-Diagramm abgebildet. Obwohl Anfangs- und Endzustände dabei identisch sind, ergeben sich jedoch unterschiedliche Flächen unter den Kurven und somit verschiedene Volumenänderungsarbeiten. Im Vergleich zum Ausgangsprozess (1) ist die Volumenänderungsarbeit in der zweiten Variante (2) geringer und in der dritten Prozessführung (3) größer. Dementsprechend kann das Gewicht im Fall (2) nicht so weit angehoben werden wie in der ersten Variante. In der Variante (3) hingegen kann das Gewicht durch die größere Volumenänderungsarbeit auch um einen entsprechend größeren Betrag angehoben werden.

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Abbildung: Volumenänderungsarbeiten im Vergleich

Die Volumenänderungsarbeit hängt somit im entscheidenden Maße davon ab, wie der Prozess zwischen dem Anfangs- und Endzustand genau verläuft. Es handelt sich bei der Volumenänderungsarbeit eben um eine typische Prozessgröße.

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