Spezifische Verschiebearbeit

Das in den Abschnitten zuvor erläuterte Pumpenbeispiel zeigte, dass die betrachtete Pumpe für das Fördern einer Wassermasse von 2 kg eine (Verschiebe-)Arbeit von 4000 J aufbringen muss. Soll die Pumpe hingegen die 10-fache Wassermasse von 20 kg fördern, dann muss die Pumpe auch eine entsprechend 10-fache Arbeit von insgesamt 40.000 J verrichten.

Je nach durchströmender Masse ändert sich folglich auch immer die Verschiebearbeit. Deshalb ist es bei offenen System sinnvoller die umgesetzte Energiemenge nicht auf eine willkürliche Masse von 2 kg oder 20 kg zu beziehen sondern immer auf 1 kg gerechnet anzugeben. Demzufolge muss die betrachtete Wasserpumpe pro Kilogramm durchströmenden Wassers eine Energiemenge von 2000 J aufwenden. Man bezeichnet eine solche, auf die Masse bezogene Größe auch als spezifische Größe. In diesem Fall wird sie spezifische Verschiebearbeit genannt und beträgt 2000 \(\frac{\text{J}}{\text{kg}}\) (sprich: 2000 Joule pro Kilogramm). 

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Abbildung: Verschiebearbeit

Die spezifische Verschiebeenergie \(w_S\) ermittelt sich demnach ganz allgemein als Quotient aus Verschiebeenergie \(W_S\) und zugehöriger Masse \(m\) (Beachte, dass spezifische Größen im Allgemeinen mit einem Kleinbuchstaben symbolisiert werden.):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{3475}
&\boxed{w_S = {W_S \over m}} ~~~[w_S] =  \frac{\text{J}}{\text{kg}} ~~~~~\text{spezifische Verschiebearbeit} \\[5px]
\end{align}

Mit der Definition der Verschiebearbeit als Differenz der Produkte von Druck \(p\) und Volumen \(V\) zeigt sich, dass die spezifische Verschiebearbeit auch über die spezifischen Volumina \(v\) berechnet werden können:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&w_S =\frac{W_S}{m} = \frac{p_2 \cdot V_2 - p_1 \cdot V_1}{m} = {p_2 \cdot \underbrace{\frac{V_2}{m}}_{=v_2} - p_1 \cdot \underbrace{\frac{V_1}{m}}_{=v_1}} = p_1 \cdot v_1 - p_2 \cdot v_2 \\[10px]
\label{2070}
&\boxed{w_S = p_1 \cdot v_1 - p_2 \cdot v_2} ~~~ \text{mit}~~~ \boxed{v={V \over m}} ~~~ [v]=\frac{\text{m³} }{\text{kg}} ~~~\text{spezifisches Volumen} \\[10px]
\end{align}

Das spezifische Volumen gibt anschaulich an welches Volumen ein Stoff mit einer Masse von 1 kg einnimmt. Das spezifische Volumen \(v\) entspricht somit gerade dem Kehrwert der Stoffdichte \(\rho\). So liefert die Stoffdichte genau die umgekehrte Aussage, nämlich welche Masse ein Stoff mit einem Volumen von 1 m³ besitzt. Spezifisches Volumen \(v\) und Stoffdichte \(\rho\) stehen folglich in umgekehrtem Verhältnis zueinander:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{9579}
&\boxed{v = {1 \over \rho}} \\[5px]
\end{align}

Folglich kann die spezifische Verschiebearbeit auch anhand der Stoffdichten ermittelt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{2791}
 &\boxed{w_S = \frac{p_2}{\rho_2} - \frac{p_1}{\rho_1} }~~~\text{mit}~~~ \boxed{\rho= {m \over V}} ~~~ [\rho]={\text{kg} \over \text{m³}} ~~~ \text{Dichte}  \\[5px]
\end{align}

Der Vorteil der Ermittlung der spezifischen Verschiebearbeit nach Gleichung (\ref{2791}) bzw. (\ref{2070}) ist, dass diese unabhängig der tatsächlich durchströmenden Masse angewandt werden können. Es ist also völlig egal, ob bei der beschriebenen Pumpe nun 2 kg oder 20 kg Wasser hindurchströmen. Die spezifische Verschiebearbeit wird sich hierdurch nicht ändern!

So beträgt im vorliegenden Beispiel die Wasserdichte am Pumpeneingang \(\rho_1\) = 999,25 kg/m³  (bei \(p_1\) = 1,1 bar) bzw. am Pumpenaustritt \(\rho_2\) = 1000,19 kg/m³  (bei \(p_2\) = 21,1 bar). Aus diesen Größen lässt sich nun die spezifische Verschiebearbeit ermitteln, ohne dass im Vorfeld bekannt sein muss, wie viel Masse später tatsächlich durch die Pumpe strömen wird:

\begin{align}\;\;\;\;\;
& \underline{w_S} = \frac{p_2}{\rho_2} - \frac{p_1}{\rho_1} = \frac{12,1 \cdot 10^5 \frac{\text{N}}{\text{m²}} }{1000,19 \frac{\text{kg}}{\text{m³}}} - \frac{1,1 \cdot 10^5 \frac{\text{N}}{\text{m²}} }{999,25 \frac{\text{kg}}{\text{m³}}} = \underline{2000 \frac{\text{J}}{\text{kg}}}  \\[5px]
\end{align}

Diese Rechnung zeigt, dass das Ergebnis unabhängig der später durchströmenden Masse ist. Diese Unabhängigkeit der Stoffmasse ist grundsätzlich der Vorteil bei der Verwendung von spezifischen Größen. Deshalb werden solche spezifische Größen sehr häufig in der Thermodynamik verwendet. Siehe hierzu auch das Kapitel Intensive und extensive Zustandsgrößen

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