Ausschiebearbeit

Im vorherigen Abschnitt wurden die energetischen Verhältnisse am Pumpeneingang erläutert ("Saugseite"). Dabei drückt die Umgebung ein Wasservolumen \(V_1\)=2,0015 \(\text{l}\) mit dem Druck \(p_1\) = 1,1 bar in die Pumpe und verrichtet somit die Einschiebearbeit \(W_1\) = 220 J:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{5792}
&\boxed{W_1 = p_1 \cdot V_1} ~~~~~\text{Einschiebeenergie (Einschiebearbeit)}
\end{align}

Im Folgenden werden nun die Vorgänge am Pumpenausgang näher betrachtet ("Druckseite"). Grundsätzlich wird am Pumpenausgang dabei dieselbe Masse an Wasser ausgeschoben wie innerhalb einer bestimmten Zeit am Pumpeneingang hineinströmt. Diese der Massenerhaltung geschuldete Bedingung wird auch Kontinuitätsbedingung genannt.

Strömen zum Beispiel 2 kg Wasser innerhalb von 4 Sekunden auf der Saugseite in die Pumpe ein, so verlassen im selben Zeitraum auch wieder 2 kg Wasser die Pumpe durch den Pumpenausgang. Schließlich kann nicht auf der einen Seite 2 kg Wasser hineinströmen, aber auf der anderen Pumpenseite nur 1 kg Wasser wieder ausströmen, oder plötzlich 3 kg. Die Pumpe würde dann auf wundersame Weise stetig Wasser ansammeln oder im umgekehrten Fall Wassermasse vernichten. 

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Interaktive Abbildung: Kontinuitätsbedingung (Massenerhaltung)

Wäre die Pumpe ausgeschaltet so würde das Wasser lediglich mit der Einschiebeenergie von 220 J durch die Pumpe geschoben werden und anschließend mit dieser Energie wieder ausgeschoben werden. Nun sorgt allerdings die Pumpe für eine Druckerhöhung, da die Wassermassen durch das rotierende Pumpenrad "zusammengedrückt" werden. Das Wasser wird also mit einem höherem Druck aus der Pumpe ausgeschoben als es in die Pumpe eingeschoben wurde [fahre hierzu mit der Maus über die obere Abbildung]

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Abbildung: Druckerhöhung durch die Pumpe.

Dies erklärt auch weshalb mit angeschalteter Pumpe der austretende Wasserstrahl an der Düse des Gartenschlauches deutlich weiter kommt als im ausgeschalteten Zustand ohne Druckerhöhung. Man kann sich hierzu die Pumpe auch als einen weiteren Kolben veranschaulicht vorstellen, der das Wasser zusätzlich unter hohem Druck ausschiebt - zusätzlich zum bereits gedachten Kolben mit der das Wasser von der Umgebung ohnehin durch die Pumpe geschoben werden würde.

Erzeugt die Pumpe bspw. eine Druckerhöhung um 20 bar, dann erhöht sich der Wasserdruck von 1,1 bar am Pumpeneingang auf insgesamt 21,1 bar am Pumpenausgang. Das Wasser verlässt die Pumpe somit auch mit einer größeren Kraft, was letztlich eine Erhöhung der Auschiebeenergie zur Folge hat. Dieser Arbeitsumsatz am Pumpenausgang kann analog zur Einschiebearbeit nach Gleichung (\ref{5792}) hergeleitet werden. So wird durch die Pumpe die Wassermasse mit der Kraft \(F_2 = p_2 \cdot A_2\) entlang des Weges \(s_2\) durch den Querschnitt \(A_2\) ausgeschoben. Dies führt zur folgender Ausschiebeenergie \(W_2\) (Ausschiebearbeit):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&W_2 = F_2 \cdot s_2 = p_2 \cdot \underbrace{A_2 \cdot s_2}_{=V_2} = p_2 \cdot V_2 \\[5px]
\label{3018}
&\boxed{W_2 = p_2 \cdot V_2} ~~~~~\text{Ausschiebeenergie (Ausschiebearbeit)}
\end{align}

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Interaktive Abbildung: Ausschiebearbeit an der Druckseite

Beachte, dass aufgrund der Kontinuitätsbedingung zwar die innerhalb einer bestimmten Zeit ein- und ausgeschobenen Massen identisch sind, die jeweiligen Volumina (hier: \(V_1\) und \(V_2\)) sich durch die unterschiedlichen Drücke jedoch unterscheiden. So wird die Wassermasse am Pumpenausgang durch den größeren Druck zusammengepresst. Deshalb ist das Volumen der Wassermasse am Pumpenausgang etwas gerigner als das Volumen am Pumpeneingang. So besitzt bspw. die betrachtete Wassermasse von 2 kg am Pumpenausgang nicht mehr das Volumen \(V_1\) = 2,0015 \(\text{l}\) sondern durch den größeren Druck ein leicht geringeres Volumen von \(V_2\) = 1,9996 \(\text{l}\). 

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Interaktive Abbildung: Ausschiebearbeit an der Druckseite

Anmerkung: Auch wenn Wasser als nahezu nicht komprimierbar gilt (inkompressibel genannt), so wird man - wie das obere Beispiel zeigt - dennoch eine sehr geringe Volumenverkleinerung feststellen können. Diese Volumenverkleinerung mag für Flüssigkeiten zwar vernachlässigbar sein, für Gase wird sie allerdings sehr bedeutsam! Denn im Gegensatz zu Flüssigkeiten sind Gase hoch kompressibel, d.h. sie ändern ihr Volumen unter Druck sehr stark. Strömt für die spätere Betrachtung Luft durch die "Pumpe", so wird sich das komprimierte Gasvolumen \(V_2\) sehr deutlich vom unkomprimierten Gasvolumen \(V_1\) unterscheiden (im Falle von Gasen spricht dann im Übrigen nicht mehr von einer Pumpe sondern von einem Verdichter bzw. Kompressor). Das Komprimieren des Gasvolumens wird mit einem weiteren Arbeitsumsatz verbunden sein, auf den im Abschnitt Druckänderungsarbeit näher eingegangen wird. Aus diesem Grund werden bereits an dieser Stelle die im Allgemeinen unterschiedlichen Volumina \(V_1\) bzw. \(V_2\) eingeführt.

Mit einem Druck von \(p_2\)=21,1 bar und einem Ausschiebevolumen \(V_2\)=1,9996 \(\text{l}\) ergibt sich für die 2-kg-Wassermasse somit eine Ausschiebeenergie von rund \(W_2\) = 4220 J:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\underline{W_2} = p_2 \cdot V_2 = 21,1 \frac{\text{N}}{\text{m²}} \cdot 1,9996 \cdot 10^{-3} \text{ m³} = \underline{4220 \text{ J}}
\end{align}

Vergleicht man die Einschiebeenergie von \(W_1\) = 220 J mit der Ausschiebeenergie von \(W_2\) = 4220 J so wird deutlich, dass die Pumpe offensichtlich dafür sorgt, dass die eintretende Wassermasse mit größerer Energie ausgeschoben wird als sie durch die Umgebung hineingeschoben wurde. Welche Arbeit die Pumpe dabei schließlich verrichten muss, wird im nächsten Abschnitt diskutiert.

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