Isothermer Prozess

Eine Zustandsänderung bei der sich die Temperatur nicht ändert, wird als isothermer Prozess bezeichnet. Eine betrachtete Masse tritt dabei mit einem Druck \(p_1\) und einem Volumen \(V_1\) in das offene System ein. Anschließend tritt die Masse bei unveränderter Temperatur \(T\), aber mit geändertem Druck \(p_2\) und Volumen \(V_2\), wieder aus dem System aus.

Der Zusammenhang zwischen dem Anfangszustand (\(V_1\), \(p_1\)) und dem Endzustand (\(V_2\), \(p_2\)) lässt sich bei einem isothermen Vorgang durch das Gesetz von Boyle-Mariotte beschreiben:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{8755}
\boxed{ {p_1~V_1} = {p_2~V_2} } ~\text{mit} ~ T=\text{konstant}
\end{align}

Gemäß dem Boyle-Mariotte'schen Gesetz verhält sich der Druck \(p\) umgekehrt-proportional zum Volumen \(V\). Folglich ergibt sich im \(p(V)\)-Diagramm eine Hyperbel als Prozesskurve.

isothermer, prozess, offenes system, Volumen-Druck-Diagramm

Abbildung: Isothermer Prozess

Die Druckänderungsarbeit ermittelt sich als seitliche Fläche neben der Kurve. Sie kann durch Integration der \(V(p)\)-Funktion ermittelt werden. Diese Funktion erhält man aus der thermischen Zustandsgleichung (\(p \cdot V=R_S \cdot m \cdot T\)), nachdem diese nach \(V\) umgestellt wurde:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{9481}
&p~V = R_S~m~T ~~~\Rightarrow~~~ \boxed{V(p) ={ \underbrace{R_S~m~T}_{=konstant} \cdot {1 \over p}}}
\end{align}

Nun kann die Druckänderungsarbeit \(W_D\) durch Integration innerhalb der Grenzen \(p_1\) und \(p_2\) bestimmt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{4670}
W_D &= \int\limits_{p_1}^{p_2} V(p) ~ dp ~~ \text{ mit } ~~ V(p) = R_S~m~T \cdot {1 \over p} \\[5px]
&= \int\limits_{p_1}^{p_2} \underbrace{R_S~m~T}_{=konstant} \cdot {1 \over p} ~ dp \\[5px]
&= R_S~m~T~ \int\limits_{p_1}^{p_2} {1 \over p} ~ dp \\[5px]
&= R_S~m~T~ \left[~\ln(p)~\right]^{p_2}_{p_1} \\[5px]
&= R_S~m~T~ \left[ \ln(p_2) - \ln(p_1) \right] ~\text{ mit }~ \underline{\ln(p_2) - \ln(p_1) = \ln \left(p_2 \over p_1 \right)} ~\text{ folgt: } \\[5px]
\end{align}

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{1455}
\boxed{W_D = R_S~m~T \cdot \ln \left(p_2 \over p_1 \right)} = R_S~m~T \cdot \ln \left(V_1 \over V_2 \right)
\end{align}

Beachte, dass sich für isotherme Prozesse die Druckänderungsarbeit \(W_D\) nach derselben Gleichung wie die Volumenänderungsarbeit \(W_V\) ermittelt (siehe hier). Druckänderungs- und Volumenänderungsarbeit sind folglich gleich groß. Da sich die Druckänderungsarbeit aber ganz allgemein aus der Summe von Volumenänderungsarbeit und Verschiebearbeit zusammensetzt, muss folglich die Verschiebearbeit null sein:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{7093}
W_D = W_V + \underbrace{W_S}_{=0} ~~~\Rightarrow~~~\underline{W_D = W_V}
\end{align}

Dass die Verschiebearbeit null ist, zeigt sich auch sofort, wenn man für den isothermen Prozess die Verschiebearbeit direkt anhand der Drücke und Volumina berechnet. Dabei wird für ideale Gase das Produkt aus Druck \(p\) und Volumen \(V\) mithilfe der allgemeinen Gasgleichung durch die entsprechende Temperatur \(T\) ausgedrückt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{9675}
W_S = \underbrace{p_2~V_2}_{m~R_S~T_2}-\underbrace{p_1~V_1}_{m~R_S~T_1}=m~R_S~T_2-m~R_S~T_1=m~R_S~\underbrace{(T_2-T_1)}_{=0 \text{, da isotherm}}=0
\end{align}

Eine Verschiebearbeit von null bedeutet anschaulich, dass die betrachtete Gasmasse mit derselben mechanischen Energie aus dem offenen System austritt wie sie eingetreten ist. Da der Prozess zudem isotherm abläuft, wird weder die innere Energie noch die Enthalpie geändert:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{4764}
&\boxed{\Delta U = 0} \\[5px]
\label{6989}
&\boxed{\Delta H = 0}
\end{align}

Wenn aber dem System Druckänderungsarbeit von außen zugeführt wird, wohin verschwindet diese Energie dann, wenn sie offensichtlich weder die Enthalpie noch die innere Energie ändert? Dies kann natürlich nur dann funktionieren, wenn die zugeführte Energie in Form von Druckänderungsarbeit im selben Maße durch eine Energieabfuhr in Form von Wärme ausgeglichen wird. Bei einem isothermen Prozess schlägt sich die Druckänderungsarbeit also vollständig in einem Wärmeumsatz nieder und umgekehrt. Dies zeigt sich auch sofort, wenn man den Wärmeumsatz \(Q\) direkt anhand des ersten Hauptsatzes aus der Differenz von innerer Energieänderung und Volumenänderungsarbeit berechnet, wobei im isothermen Fall die Volumenänderungsarbeit der Druckänderungsarbeit entspricht:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{1456}
&\boxed{Q = \underbrace{\Delta U}_{=0} - \underbrace{W_V}_{=W_D} = - W_D}
\end{align}

Im nächsten Abschnitt wird auf den isentropen (adiabaten) Prozess  als Spezialfall näher eingegangen.

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