Isochorer Prozess

Für einen isochoren Prozess bleit das Volumen der betrachteten Masse während der gesamten Zustandsänderung konstant. Die Masse mit dem Volumen \(V\) wird bei einem Druck \(p_1\) in das offene System geschoben und anschließend auf einen Enddruck \(p_2\) gebracht. Ohne Änderung des Volumens \(V\) strömt das Gas mit diesem Druck aus dem offenen System aus.

Der Zusammenhang zwischen dem Anfangszustand (\(p_1\), \(T_1\)) und dem Endzustand (\(p_2\), \(T_2\)) wird dabei durch das Gesetz von Amontons beschrieben:

\begin{equation}\;\;\;\;\;
\label{1270}
\boxed{ {p_1 \over T_1} = {p_2 \over T_2} } ~\text{mit} ~ V=\text{konstant}
\end{equation}

In einem \(p(V)\)-Diagramm stellt sich die isochore Zustandsänderung als vertikale Linie dar. Die Druckänderungsarbeit als seitliche Fläche neben dieser Zustandskurve, ist demnach eine einfache Rechteckfläche mit der Breite \(V\) und der Höhe \(\Delta p=p_2-p_1\). Somit gilt für die Druckänderungsarbeit \(W_D\) eines isochoren Prozesses:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{2332}
&\boxed{W_D = V \cdot \Delta p = V~\left(p_2-p_1\right)} \\[5px]
\end{align}

isochorer, prozess, offenes system, Volumen-Druck-Diagramm

Abbildung: Isochorer Prozess

Die Druckänderungsarbeit kann nicht nur über die Differenz der Drücke sondern auch über die Differenz der Temperaturen bestimmt werden. Hierzu ist lediglich der Klammerterm auszumultiplizieren. Die entstehenden Produkte aus Volumen und Druck stehen gemäß der thermischen Zustandsgleichung nämlich in eindeutiger Beziehung zur Temperatur:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{1395}
W_D &= V \cdot \left(p_2 - p_1 \right) \\[5px]
&= V~p_2-V~p_1 ~~~\text{ mit }~~~ \underbrace{p~V=R_S~m~T}_{\text{therm. Zustandsgln.}} ~\text{ folgt:}~ \\[5px]
&= R_S~m~T_2-R_S~m~T_1 \\[5px]
&= R_S~m~\left(T_2-T_1 \right)
\end{align}

Die Druckänderungsarbeit \(W_D\) lässt sich also auch über die Differenz zwischen End- und der Anfangstemperatur des isochoren Prozesses ermitteln. Durch eine weitere Umformung lässt sich diese dann auch über das Druckverhältnis bestimmen:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{4301}
\boxed{W_D = R_S~m~\left(T_2-T_1 \right)}= R_S~m~T_1~\left({T_2 \over T_1}- 1 \right)= R_S~m~T_1~\left({p_2 \over p_1}- 1 \right)
\end{align}

Werden Strömungsprozesse von Flüssigkeiten betrachtet, so erfolgen diese aufgrund deren Inkompressibilität nahezu isochor (z.B. Pumpen). Bei kompressiblen Gasen hingegen bedeutet eine Druckänderung in der Regel auch immer eine Volumenänderung. Deshalb sind isochore Zustandsänderungen bei Gasen im Zusammenhang mit offenen Systemen eher selten. Denkbar wäre jedoch, dass bspw. die Volumenverkleinerung bei einer Druckerhöhung durch eine entsprechende Temperaturerhöhung (Wärmezufuhr) kompensiert wird. In einem solchen Fall könnte man eine isochore Zustandsänderung erreichen.

Damit bei Gasen also das Volumen trotz Druckerhöhung konstant bleibt, muss Wärme zugeführt werden, um die Temperatur von \(T_1\) auf \(T_2\) zu erhöhen. Der Wärmeumsatz \(Q\) bestimmt sich dabei nach den Gesetzmäßigkeiten, die bereits bei geschlossenen Prozessen ermittelt wurden (siehe hier):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{6661}
&\boxed{Q= c_v~m~(T_2-T_1)} = c_v~m~T_1~\left({T_2 \over T_1} - 1 \right) = c_v~m~T_1~\left({p_2 \over p_1} - 1 \right) \\[5px]
\end{align}

Auch für die Änderung der inneren Energie \(\Delta U\) gilt ebenfalls dieselbe Formel wie bei geschlossenen Systemen (siehe hier):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{6065}
\boxed{ \Delta U = c_v ~ m ~ \left(T_2-T_1 \right)} = c_v ~ m ~ T_1 \left({T_2 \over T_1}-1 \right) = c_v ~ m ~ T_1 \left({p_2 \over p_1}-1 \right)
\end{align}

Wärmeumsatz und Änderung der inneren Energie sind folglich gleich groß. Somit kommt beim isochoren Prozess eine Wärmezufuhr vollständig der inneren Energie zugute. Umgekehrt, vollzieht sich eine Wärmeabfuhr vollständig auf Kosten der inneren Energie.

Die wärmebedingte Temperaturänderung resultiert auch in einer entsprechenden Enthalpieänderung \(\Delta H\) (Enthalpieerhöhung):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{8369}
&\boxed{\Delta H = c_p~m~(T_2-T_1)} = c_p~m~T_1~\left({T_2 \over T_1} - 1 \right) = c_p~m~T_1~\left({p_2 \over p_1} - 1 \right) \\[5px]
\end{align}

Im nächsten Abschnitt wird auf den isobaren Prozess als Spezialfall näher eingegangen.

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