Isentroper ("adiabater") Prozess

Findet kein Wärmeaustausch zwischen System und Umgebung statt, so spricht man von einem adiabaten System. Der Wärmeumsatz \(Q\) ist für adiabate Systeme somit stets Null:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{8092}
&\boxed{Q \overset{!}= 0}
\end{align}

Reversible thermodynamische Vorgänge in solchen Systemen, werden dann als isentrope Prozesse bezeichnet. Während bei isochoren Prozessen das Volumen, bei isobaren Vorgängen der Druck und bei isothermen Zustandsänderungen die Temperatur konstant bleibt, ändern sich bei isentropen Vorgängen alle drei Zustandsgrößen. Eine Masse wird also mit dem Druck \(p_1\), dem Volumen \(V_1\) und der Temperatur \(T_1\) in das offene, adiabate System eingeschoben und tritt am Ende mit dem Druck \(p_2\), dem Volumen \(V_2\) und der Temperatur \(T_2\) wieder aus. Die jeweiligen Zustände sind über die thermische Zustandsgleichung miteinander verknüpft:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{3757}
&\underbrace{{pV \over T}=R_S~m}_{\text{therm. Zustandsgln.}}=\text{konstant} ~\Rightarrow~ \boxed{{p_1~V_1 \over T_1}={p_2~V_2 \over T_2} }
\end{align}

Aus der Bedingung \(Q\)=0 in Kombination mit dem Ersten Hauptsatz der Thermodynamik kann jedoch ein eindeutiger Zusammenhang zwischen jeweils zwei Zustandsgrößen hergeleitet werden (siehe hier):

\begin{alignat}{3}\;\;\;\;\;
\label{1143}
&&&&&\boxed{p \sim {1 \over V^\kappa}} \text{ mit } \boxed{\kappa = {c_p \over c_v}}>1 \\[5px]
\label{7261}
&p \cdot V^\kappa = \text{konstant}& &\Rightarrow&~ &\boxed{ p_1~V_1^\kappa = p_2~V_2^\kappa} \\[5px]
\label{1604}
&T \cdot V^{\kappa-1} = \text{konstant}& &\Rightarrow&~ &\boxed{ T_1~V_1^{\kappa-1} = T_2~V_2^{\kappa-1}} \\[5px]
\label{8358}
&T^\kappa \cdot p^{1-\kappa} = \text{konstant}& &\Rightarrow&~ &\boxed{ T_1^\kappa~p_1^{1-\kappa} = T_2^\kappa~p_2^{1-\kappa}} \\[5px]
\end{alignat}

Darin bezeichnet \(\kappa\) den sogenannten Isentropenexponent (auch Adiabatenexponent genannt). Dieser ergibt sich aus dem Verhältnis der spezifischen Wärmekapazitäten \(c_p\) und \(c_v\) und ist stets größer 1. Deshalb verläuft auch die isentrope Prozesskurve (\(p \sim \frac{1}{V^{\kappa}}\)) steiler als beim isothermen Prozess (\(p \sim \frac{1}{V}\)). Mehr Informationen zur isentropen Zustandsänderung finden sich im Kapitel geschlossene Systeme

Isentroper prozess, offenes system, Volumen-Druck-Diagramm

Abbildung: Isentroper Prozess

Die Änderung der inneren Energie \(\Delta U\) bestimmt sich über die Temperaturänderung, die sich während des Durchströmens durch das offene System ergibt. Sie kann mit Gleichung ( \ref{1604}) bzw. Gleichung (\ref{8358}) auch über das Volumen- bzw. Druckverhältnis ermittelt werden:

\begin{alignat}{2}\;\;\;\;\;
\label{7328}
&\boxed{ \Delta U = c_v~m~\left(T_2-T_1 \right)}& &=c_v~m~T_1~\left[{T_2 \over T_1}-1 \right] \\[5px]
\label{4710}
&&&=c_v~m~T_1~\left[{\left(V_1 \over V_2 \right)^{\kappa-1}}-1 \right] \\[5px]
\label{1043}
&&&=c_v~m~T_1~\left[{\left(p_1 \over p_2 \right)^{{1-\kappa} \over \kappa}}-1 \right] \\[5px]
\end{alignat}

Auf die analoge Weise wie die Änderung der inneren Energie kann auch die Enthalpieänderung \(\Delta H\) über die Temperaturänderung bestimmt werden:

\begin{alignat}{2}\;\;\;\;\;
\label{4596}
&\boxed{ \Delta H = c_p~m~\left(T_2-T_1 \right)}& &=c_p~m~T_1~\left[{T_2 \over T_1}-1 \right] \\[5px]
\label{2224}
&&&=c_p~m~T_1~\left[{\left(V_1 \over V_2 \right)^{\kappa-1}}-1 \right] \\[5px]
\label{7381}
&&&=c_p~m~T_1~\left[{\left(p_1 \over p_2 \right)^{{1-\kappa} \over \kappa}}-1 \right] \\[5px]
\end{alignat}

Die Druckänderungsarbeit kann prinzipiell durch Integration der seitlichen Fläche neben der Prozesskurve erhalten werden. Sie lässt sich aber über den ersten Hauptsatz wesentlich unkomplizierter bestimmen. So folgt mit der Bedingung \(Q\)=0 unmittelbar, dass die Druckänderungsarbeit \(W_D\) der Enthalpieänderung \(\Delta H\) entspricht:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{1845}
&Q = \Delta H - W_D \\[5px]
\label{1130}
&\boxed{W_D = \Delta H}
\end{align}

Bei einem isentropen Prozess bezieht das offene System seine Druckänderungsarbeit also vollständig aus der Enthalpieänderung und umgekehrt!

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