Zusammenfassung der Grundgleichungen

In den Abschnitten zuvor wurden die allgemeinen Gesetzmäßigkeiten erläutert, die den offenen Systemen zugrunde liegen. Wesentliche Bedeutung hat dabei die technische Arbeit, die das offene System umsetzt. In der Regel erfordern offene Systeme darüber hinaus jedoch auch einen Wärmeumsatz. So wurde im Zusammenhang mit Verdichtern bereits erläutert, dass bei der Kompression des Gases sehr hohe Temperaturen entstehen können. Damit der Verdichter keinen Schaden nimmt oder nachfolgende Bauteile nicht zu stark thermisch beansprucht werden, muss dieser entsprechend gekühlt werden. Somit kommt nicht nur der technischen Arbeit sondern auch dem Wärmeumsatz bei offenen Systemen eine große Bedeutung zu.

Deshalb sollen im Folgenden unter vereinfachten Bedingungen die zur Ermittlung dieser Prozessgrößen (technische Arbeit und Wärme) notwendigen Gleichungen nochmals kurz zusammengefasst und anschließend auf spezielle Zustandsänderungen angewendet werden. Dabei sollen als Arbeitsmedien ausschließlich ideale Gase zur Anwendung kommen. Aufgrund der im Allgemeinen geringen Dichte der Gase werden Änderungen der potentiellen Energie vernachlässigt. Auch Änderungen der kinetischen Energie spielen bei Gasen in der Regel eher eine untergeordnete Rolle und werden deshalb vernachlässigt. Lediglich bei sehr hohen Strömungsgeschwindigkeiten sind diese zu berücksichtigen. Ebenfalls wird von reversiblen (reibungsfreien) Prozessen ausgegangen, sodass keinerlei Dissipationsenergien zu berücksichtigen sind.

Im Folgenden gilt also:

  • Gase werden als ideale Gase betrachtet
  • Vernachlässigung der Änderung von kinetischen Energien \(\Delta c^2 = 0 \)
  • Vernachlässigung der Änderung von potentiellen Energien \(\Delta z = 0 \)
  • Reversible Prozesse, insbesondere Vernachlässigung von Dissipationsvorgängen \(W_{Diss}=0\)

Unter diesen Vernachlässigungen ergibt sich die technische Arbeit direkt als Druckänderungsarbeit \(W_D\) (siehe hier):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\require{cancel}
&W_t = \underbrace{\int\limits_{p_1}^{p_2}V(p)~\text{d}p}_{=W_D} + \bcancel{\tfrac{1}{2}~m~\Delta c^2} + \bcancel{m~g~\Delta z} + \bcancel{W_{Diss}} \\[5px]
\label{1239}
& \boxed{W_D = \int\limits_{p_1}^{p_2}V(p)~\text{d}p} = W_t 
\end{align}

Die Ermittlung des Wärmeumsatzes \(Q\) erfolgt über die Enthalpiedifferenz zwischen Ein- und Austritt des Gases aus dem offenen System sowie der Druckänderungsarbeit (siehe hier):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\require{cancel}
&\Delta H = W_D + Q + \bcancel{W_{Diss}}   \\[5px]
\label{6852}
&\boxed{Q = \Delta H  - W_D}
\end{align}

Deshalb muss zunächst die Enthalpiedifferenz \(\Delta H\) bestimmt werden. Für ideale Gase ist diese nur von der Temperaturdiefferenz zwischen Ein- und Ausgang des Systems zurückzuführen:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{4443}
&\boxed{\Delta H = c_p~m~\Delta T} \\[5px]
\end{align}

Der Wärmeumsatz kann auch direkt über die Änderung der inneren Energie \(\Delta U\) und der Volumenarbeit \(W_V\) bestimmt werden (siehe hier):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{6998}
&Q + W_V = \Delta U \\[5px]
\label{5547}
&\boxed{Q = \Delta U - W_V} \\[5px]
&\text{mit} \notag \\[5px]
\label{8576}
&\boxed{W_V = - \int\limits_{V_1}^{V_2}p(V)~\text{d}V} \\[5px]
\end{align}

Für ideale Gase ist die Änderung der inneren Energie dabei nur von der Temperaturdifferenz zwischen Ein- und Ausgang des Systems abhängig:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{3730}
\boxed{\Delta U = c_v~m~\Delta T}  \\[5px]
\end{align}

In der Abbildung unten sind die Gleichungen nochmals zusammengefasst.

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Abbildung: Zusammenfassung der Gleichungen für offene Prozesse

Beachte, dass die Enthalpiedifferenz \(\Delta H\) bzw. die Änderung der inneren Energie \(\Delta U\) direkt anhand der Gaszustände vor und nach dem offenen System bestimmt werden kann (Zustandsgröße). Für die Ermittlung der Druckänderungsarbeit \(W_D\) muss jedoch der \(V(p)\)-Verlauf der Zustandsänderung bekannt sein und für die Volumenänderungsarbeit \(W_V\) der \(p(V)\)-Verlauf, denn nur so lassen sich die darin enthaltenen Integrale lösen (Prozessgröße). Dies wirkt sich auch auf die Berechnung des Wärmeumsatzes \(Q\) aus (ebenfalls Prozessgröße).

Zwar können die Zustandsänderungen in offenen Systemen prinzipiell beliebig erfolgen, für besondere Spezialfälle lassen sich jedoch diese Prozessgrößen aus Anfangs- und Endzuständen bestimmen. Diese Sonderfälle werden im Folgenden vorgestellt. Hierzu zählen:

Beachte, dass es sich bei den Gleichungen (\ref{6998}) bis (\ref{3730}) um exakt dieselben Gleichungen handelt, die bereits bei den geschlossenen Systemen behandelt wurden. Für die offenen Prozesse werden diese Gleichungen deshalb nicht mehr explizit berechnet. Es wird lediglich auf die entsprechenden Stellen im Kapitel der geschlossenen Prozesse verwiesen.

Aus didaktischen Gründen werden die folgenden Prozesse in der Regel aus Sicht von sogenannten Arbeitsmaschinen beschrieben. Arbeitsmaschinen sind Maschinen die im Gegensatz zu Wärmekraftmaschinen keine mechanische Arbeit nach außen abgeben (wie bspw. Turbinen) sondern Arbeit aufnehmen (wie bspw. Pumpen oder Verdichter). Die erarbeiteten Gleichungen gelten jedoch auch für Wärmekraftmaschinen.

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