Polytroper Prozess

Der polytrope Prozess von offenen Systemen beinhaltet alle bisher betrachteten Zustandsänderungen als Spezialfälle einer allgemeinen Gesetzmäßigkeit:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{5262}
\boxed{p~V^n=\text{konstant}} &~~\Rightarrow~~ \boxed{p_1~V_1^n=p_2~V_2^n} \\[5px]
\label{2736}
\boxed{T~V^{n-1}=\text{konstant}} &~~\Rightarrow~~ \boxed{T_1~V_1^{n-1}=T_2~V_2^{n-1}} \\[5px]
\label{6174}
\boxed{T^n~p^{1-n}=\text{konstant}} &~~\Rightarrow~~ \boxed{T_1^n~p_1^{1-n}=T_2^n~p_2^{1-n}} \\[5px]
\text{ mit: }~~ &n=0 ~~~\text{für isobraren Prozess} \nonumber \\
&n=1 ~~~\text{für isothermen Prozess} \nonumber \\
&n=\kappa ~~~\text{für isentropen Prozess} \nonumber \\
&n=\infty ~~~\text{für isochoren Prozess} \nonumber \\
\end{align}

Darin bezeichnet \(n\) den Polytropenexponent. Er kann prinzipiell beliebig gewählt werden, je nachdem welcher Exponent die Zustandsänderung am besten beschreibt. Nähere Informationen hierzu finden sich im Kapitel der geschlossenen Systeme wieder.

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Interaktive Abbildung: Zustandsänderung polytroper Prozesse

Die Änderung der inneren Energie \(\Delta U\) und die Enthalpieänderung \(\Delta H\) ergeben sich grundsätzlich über die Temperaturänderungen (siehe hier). Sie können in Kombination mit Gleichung (\ref{2736}) bzw. Gleichung (\ref{6174}) dann auch über das Volumen- bzw. Druckverhältnis bestimmt werden:

\begin{alignat}{2}\;\;\;\;\;
\label{9277}
&\boxed{\Delta U = c_v~m~\left(T_2-T_1 \right)}& &= c_v~m~T_1~\left[{T_2 \over T_1}-1 \right] \\[5px]
&&&= c_v~m~T_1~\left[{\left(V_1 \over V_2 \right)^{n-1}}-1 \right] \\[5px]
&&&=c_v~m~T_1~\left[{\left(p_1 \over p_2 \right)^{{1-n} \over n}}-1 \right] \\[5px]
\end{alignat}

\begin{alignat}{2}\;\;\;\;\;
\label{9929}
&\boxed{\Delta H = c_p~m~\left(T_2-T_1 \right)}& &= c_p~m~T_1~\left[{T_2 \over T_1}-1 \right] \\[5px]
&&&= c_p~m~T_1~\left[{\left(V_1 \over V_2 \right)^{n-1}}-1 \right] \\[5px]
&&&=c_p~m~T_1~\left[{\left(p_1 \over p_2 \right)^{{1-n} \over n}}-1 \right] \\[5px]
\end{alignat}

Der Wärmeumsatz \(Q\) bei polytropen Vorgängen in offenen Systemen bestimmt sich nach denselben Gesetzmäßigkeiten wie bei geschlossenen Systemen (siehe hier):

\begin{alignat}{2}\;\;\;\;\;
\label{3860}
&\boxed{Q = \left[{{n-\kappa} \over {n-1}}\right] ~c_v~m~\left(T_2-T_1 \right)}& &= \left[{{n-\kappa} \over {n-1}}\right] ~c_v~m~T_1~\left[\left(T_2\over T_1\right)-1 \right] \\[5px]
&&&= \left[{{n-\kappa} \over {n-1}}\right] ~c_v~m~T_1~\left[{\left(V_1 \over V_2 \right)^{n-1}}-1 \right] \\[5px]
&&&= \left[{{n-\kappa} \over {n-1}}\right] ~c_v~m~T_1~\left[{\left(p_1 \over p_2 \right)^{{1-n} \over n}}-1 \right] \\[20px]
\end{alignat}

Die Druckänderungsarbeit ergibt sich durch Integration der allgemeinen \(V(p)\)-Funktion des polytropen Prozesses. Dabei ergibt sich der Zusammenhang zwischen dem Volumen \(V\) und dem Druck \(p\) über Gleichung (\ref{5262}):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{3163}
&\underbrace{p_1~V_1^n}_{\text{Zustand 1}}=\underbrace{p~V^n}_{\text{Zustand 2}} \\[5px]
\label{4168}
&{p_1^{\tfrac{1}{n}}~V_1}={p^{\tfrac{1}{n}}~V} \\[5px]
\label{6270}
&V = \underbrace{p_1^{\tfrac{1}{n}}~V_1}_{=\text{konstant}} \cdot {\frac{1}{p^{\tfrac{1}{n}}}} \\[5px]
\label{3452}
&\boxed{V(p) = p_1^{\tfrac{1}{n}}~V_1 \cdot {\frac{1}{p^{\tfrac{1}{n}}}}} \\[5px]
\end{align}

Gleichung (\ref{3452}) kann nun innerhalb der Grenzen \(p_1\) und \(p_2\) integriert werden, um die Druckänderungsarbeit \(W_D\) zu erhalten:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{5508}
W_D &= \int\limits_{p_1}^{p_2} V(p) ~ dp \\[5px]
&= \int\limits_{p_1}^{p_2} \underbrace{p_1^{\tfrac{1}{n}}~V_1}_{=\text{konstant}} \cdot {\frac{1}{p^{\tfrac{1}{n}}}} ~ dp \\[5px]
&= p_1^{\tfrac{1}{n}}~V_1~\int\limits_{p_1}^{p_2} {p^{-\tfrac{1}{n}}} ~ dp \\[5px]
&= p_1^{\tfrac{1}{n}}~V_1~ \left[{1 \over {1-\tfrac{1}{n}}}~p^{1-\tfrac{1}{n}}\right]_{p_1}^{p_2} \\[5px]
&= p_1^{\tfrac{1}{n}}~V_1~ \left[{n \over {n-1}}~p^{1-\tfrac{1}{n}}\right]_{p_1}^{p_2} \\[5px]
&= {{n\over {n-1}}~{p_1^{\tfrac{1}{n}}~V_1}} ~ \left[p_2^{1-\tfrac{1}{n}}-p_1^{1-\tfrac{1}{n}} \right] ~~~ \text{nach ausklammern von } p_1^{1-\tfrac{1}{n}} \text{ folgt:} \\[5px]
&= {{n\over {n-1}}~{p_1^{\tfrac{1}{n}}~V_1}}~p_1^{1-\tfrac{1}{n}} ~ \left[\frac{p_2^{1-\tfrac{1}{n}}}{p_1^{1-\tfrac{1}{n}}}-1 \right] \\[5px]
&= {{n\over {n-1}}~{p_1~V_1}} ~ \left[\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{1-\tfrac{1}{n}}-1 \right] \\[5px]
\label{6090}
&= {{n\over {n-1}}~{p_1~V_1}} ~ \left[\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\tfrac{n-1}{n}}-1 \right] \\[5px]
\end{align}

Die Druckänderungsarbeit \(W_D\) lässt sich wesentlich einfacher über die Temperaturen bestimmen, wenn in Gleichung (\ref{6090}) das Druckverhältnis durch das entsprechende Temperaturverhältnis nach Gleichung (\ref{6174}) ausgedrückt wird:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{8248}
W_D &= {{n\over {n-1}}~\overbrace{p_1~V_1}^{=m~R_s~T_1}} ~ \left[\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\tfrac{n-1}{n}}-1 \right]
\text{mit: } ~{p_2 \over p_1} = \left(T_1 \over T_2 \right)^{n \over {1-n}} = \left(T_2 \over T_1 \right)^{n \over {n-1}} ~ \text{ folgt : } \\[5px]
&= {{n\over {n-1}}~m~R_s~T_1} ~ \left[\frac{T_2}{T_1}-1 \right] \\[5px]
&= {n~{R_s\over {n-1}}~m} \left(T_2 - T_1 \right) ~~~\text{mit } \underline{R_S=c_p-c_v} ~~~\text{folgt:} \\[5px]
&= {n~{{c_p-c_v} \over {n-1}}} ~m~ \left(T_2 - T_1 \right) \\[5px]
&= {n~{{{c_p\over c_v}-1} \over {n-1}}} ~c_v~m~ \left(T_2 - T_1 \right) ~~~\text{mit } \underline{\kappa={c_p \over c_v}} ~~~\text{folgt:} \\[5px]
\end{align}

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{2872}
W_D=n~\left[{{\kappa-1} \over {n-1}}\right] ~c_v~m~ \left(T_2 - T_1 \right)
\end{align}

Die Druckänderungsarbeit kann in Kombination mit Gleichung (\ref{2736}) bzw. Gleichung (\ref{6174}) auch über das Volumen- bzw. Druckverhältnis bestimmt werden:

\begin{alignat}{2}\;\;\;\;\;
\label{9506}
&\boxed{W_D = n~\left[{{\kappa-1} \over {n-1}}\right] ~c_v~m~\left(T_2-T_1 \right)}& &= n~\left[{{\kappa-1} \over {n-1}}\right] ~c_v~m~T_1~\left[\left(T_2\over T_1\right)-1 \right] \\[5px]
&&&= n~\left[{{\kappa-1} \over {n-1}}\right] ~c_v~m~T_1~\left[{\left(V_1 \over V_2 \right)^{n-1}}-1 \right] \\[5px]
&&&= n~\left[{{\kappa-1} \over {n-1}}\right] ~c_v~m~T_1~\left[{\left(p_1 \over p_2 \right)^{{1-n} \over n}}-1 \right] \\[20px]
\end{alignat}

Vergleicht man für polytrope Prozesse die Druckänderungsarbeit \(W_D\) für offene Systeme mit der Volumenänderungsarbeit \(W_V\) von geschlossenen Systemen, so fällt auf, dass sich diese lediglich um den Fakter \(n\) voneinander unterscheiden (siehe hier)! Offene Prozesse setzen also um den Faktor \(n\) höhere Arbeitsbeträge um, bei ansonsten gleichen Bedingungen.

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