Exkurs: Bernoulli-Gleichung

Der im vorherigen Abschnitt erläuterte erste Hauptsatz der Thermodynamik für ein offenes System lässt sich auch auf reine Strömungsprozesse von inkompressiblen Stoffen wie Flüssigkeiten übertragen.

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{6671}
&\boxed{W_t + Q = \Delta U + \Delta \left(p~V \right) + m~g~\Delta z + \tfrac{1}{2}~m~\Delta c^2} ~~~~~\text{erster Hauptsatz für offene Systeme}\\[5px]
\end{align}

Hierzu wird eine reibungsfreie Wasserströmung durch ein Rohr mit veränderlichem Querschnitt betrachtet.

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Abbildung: Bernoulli-Gleichung

Dem Wasser soll keine Energie in Form von Wärme oder Arbeit zu- oder abgeführt werden. Das Wasser strömt also lediglich durch das Rohr. Somit sind sowohl technische Arbeit \(W_t\) als auch Wärmeumsatz \(Q\) in Gleichung (\ref{6671}) Null. Auch eine Temperaturänderung kann deshalb vernachlässigt werden, sodass sich die innere Energie nicht ändert (\(\Delta U\)=0). Für diesen Fall ergibt sich der erste Hauptsatz dann wie folgt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{6570}
\underbrace{W_t}_{=0} + \underbrace{Q}_{=0} &= \underbrace{\Delta U}_{=0} + \Delta \left(p~V \right) + m~g~\Delta z + \tfrac{1}{2}~m~\Delta c^2 \\[5px]
\label{eq:4700}
0 &= \Delta \left(p~V \right) + m~g~\Delta z + \tfrac{1}{2}~m~\Delta c^2 \\[5px]
\end{align}

Wird der Druck am Eintritt des Rohres mit \(p_1\), das Volumen mit \(V_1\), die Geschwindigkeit mit \(c_1\) und die Eintrittshöhe mit \(z_1\) sowie die entsprechenden Größen am Austritt mit dem Index "2" versehen, so gilt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{7577}
&0 = \underbrace{p_2~V_2-p_1~V_1}_{\Delta \left(p~V \right)} + \underbrace{m~g~z_2-m~g~z_1}_{m~g~\Delta z} + \underbrace{\tfrac{1}{2}~m~ c_2^2-\tfrac{1}{2}~m~ c_1^2}_{\tfrac{1}{2}~m~\Delta c^2} \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass für inkompressible Medien grundsätzlich nicht zwischen \(V_1\) und \(V_2\) unterschieden werden muss, da für solche Fälle beide Volumina identisch sind. Das Volumen wird deshalb lediglich mit \(V\) (ohne Index) bezeichnet. Ordnet man die Terme noch nach Größen am Ein- und Austritt so folgt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{8183}
&V~p_1 + m~g~z_1 + \tfrac{1}{2}~m~c_1^2 = V~p_2 + m~g~z_2 + \tfrac{1}{2}~m~c_2^2 \\[5px]
\end{align}

Teilt man die Gleichung durch das Volumen \(V\) so erhält man die sogenannte Bernoulli-Gleichung für Strömungsprozesse inkompressibler Medien:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{4404}
\boxed{p_1 + \rho~g~z_1 + \tfrac{1}{2}~\rho~c_1^2 = p_2 + \rho~g~z_2 + \tfrac{1}{2}~\rho~c_2^2} ~~~\text{mit: } \rho = \frac{m}{V}~~~~~\text{Bernoulli-Gleichung} \\[5px]
\end{align}

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