Herleitung der Enthalpie von idealen Gasen

Im vorangegangenen Abschnitt wurde eine anschauliche Erläuterung für den Enthalpiebegriff \(H\) bei idealen Gase gegeben, welche wie folgt definiert ist: 

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{9234}
\boxed{H=U+pV} ~~~~~\text{bzw.}~~~~~\boxed{h=u+pv} \\[5px]
\end{align}

Für ideale Gase ermittelt sich diese Enthalpie relativ einfach anhand der Temperatur, wie im Folgenden gezeigt werden soll.

Wie im Abschnitt Änderung der inneren Energie bei idealen Gasen hergeleitet wurde, ist die innere Energie eines idealen Gases \(U\) bzw. deren Änderung \(\Delta U\) nur von der Temperatur(änderung) \(T\) abhängig:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{5651}
\boxed{U = c_v~m~T} &~~~\text{bzw.}~~~ \boxed{u=c_v~T} \\[5px]
\label{7902}
\boxed{\Delta U = c_v~m~\Delta T} &~~~\text{bzw.}~~~ \boxed{\Delta u=c_v~\Delta T} \\[5px]
\end{align}

Neben der inneren Energie ist die Enthalpie darüber hinaus noch vom Druck \(p\) und vom Volumen \(V\) abhängig. Für ein ideales Gas stehen jedoch Druck und Volumen über die allgemeine Gasgleichung in eindeutiger Beziehung zur Temperatur:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{2741}
p~V=m~R_S~T \\[5px]
\end{align}

Somit ist für ein ideales Gas die Enthalpie \(H\) ebenfalls nur von der Temperatur abhängig:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{1159}
&H = \underbrace{U}_{=m~c_v~T} + \underbrace{pV}_{=m~R_S~T} = m~c_v~T + m~R_S~T = m~\underbrace{(c_v+R_S)}_{=c_p}~T =m~c_p~T \\[5px]
\end{align}

Wie im Abschnitt isobarer Prozess gezeigt, kann der Term \((c_v+R_S)\) dabei als spezifische Wärmekapazität \(c_p\) des isobaren Prozesses interpretiert werden (ein solcher isobarer Prozess wurde bereits im Abschnitt zuvor als Herleitung der Enthalpie für ideale Gase genutzt!). Für ein ideales Gas ist die Enthalpie \(H\) bzw. deren Änderung \(\Delta H\) somit eindeutig über die Temperatur gegeben. Man erkennt deutlich die strukturelle Ähnlichkeit in den Formeln zwischen der innere Energie und der Enthalpie!

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{7769}
\boxed{H = c_p~m~T} &~~~\text{bzw.}~~~ \boxed{h=c_p~T} \\[5px]
\label{5279}
\boxed{\Delta H = c_p~m~\Delta T} &~~~\text{bzw.}~~~ \boxed{\Delta h=c_p~\Delta T} \\[5px]
\end{align}

Es zeigt sich an dieser Stelle nochmals die große Bedeutung der Enthalpie für offene Systeme, insbesondere bei Strömungsprozessen von idealen Gasen. So wurde im einleitenden Abschnitt bereits gezeigt, dass sich für viele offene Systeme die umgesetzte technische Arbeit \(W_t\) unter Vernachlässigung der Änderung von potentiellen und kinetischen Energien als Enthalpiedifferenz \(\Delta H\) ermitteln lässt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{3325}
\boxed{W_t = \Delta H = c_p~m~\Delta T} &~~~\text{bzw.}~~~ \boxed{w_t = \Delta h = c_p~\Delta T} ~~~~~\text{gilt nur für offene, adiabate Systeme}\\[5px]
\end{align}

Für ideale Gase ist diese Berechnung der technischen Arbeit somit sehr einfach über die entsprechende Temperaturdifferenz zwischen Ein- und Austritt des offenen Systems möglich!

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