Enthalpie von idealen Gasen

Es wurde im vorangegangenen Abschnitt gezeigt, dass es sich bei dem Enthalpiebegriff um eine Zustandsgröße handelt, die sich aus der Summe von innerer Energie \(U\) und dem Produkt aus Druck \(p\) und Volumen \(V\) ergibt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{9234}
\boxed{H=U+pV} ~~~\text{Enthalpie}~~~~~\text{bzw.}~~~~~\boxed{h=u+pv}~~~\text{Spezifische Enthalpie} \\[5px]
\end{align}

Somit lässt sich jedem thermodynamischen Zustand eine bestimmte Enthalpie zuweisen. Dabei muss es sich allerdings nicht immer um einen strömenden Stoff handeln, anhand dessen die Enthalpie im vorherigen Abschnitt eingeführt wurde. Auch einem Gas in einem geschlossenen Zylinder lässt sich anhand dessen innerer Energie und dessen Gasdruck sowie dessen Volumen eine bestimmte Enthalpie zuordnen. Vordergründig scheint an dieser Stelle die Interpretation als "thermodynamischer Energiedurchtritt" zu scheitern, da das Gas sich ja in einem geschlossenen Zylinder befindet und nicht über eine Systemgrenze strömt (siehe Kapitel zuvor).

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Abbildung: Enthalpie als thermodynamischer Energiedurchtritt bei offenen Systemen

Deshalb stellt sich die Frage wie für solche geschlossene Systeme die Enthalpie interpretiert werden kann. Die Enthalpie koppelt sozusagen die "thermische Energie" \(U\) mit der "mechanischen Energie" \(pV\) (Verschiebearbeit). Dass das Produkt aus Druck und Volumen dabei nicht nur als Verschiebearbeit eines offenen Systems interpretiert werden kann sondern auch als Volumenänderungsarbeit zeigte der Exkurs. Genau an dieser Stelle soll für eine anschauliche Bedeutung der Enthalpie bei geschlossenen Systemen angesetzt werden [fahre hierzu mit der Maus über die obere Abbildung].

Der Unterschied zwischen innerer Energie und Enthalpie würde sich am Beispiel eines Luftballons wie folgt darstellen. Der Ausgangspunkt der inneren Energie ist, dass der Luftballon sein aufgeblasenes Endvolumen bereits besitzt, aber die darin enthaltenen Teilchen zunächst noch keinerlei Energie aufweisen (absoluter Nullpunkt). Nun wird dieses bereits vorhandene Volumen durch Wärmezufuhr mit innerer Energie gefüllt. Die innere Energie beschreibt sozusagen das Befüllen eines vorhandenen Volumens mit thermischer Energie ("Temperaturerhöhung") [fahre hierzu mit der Maus über die untere Abbildung].

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Interaktive Animation: "Befüllen" eines Luftballons mit innerer Energie

Da das Gasvolumen bereits vorhanden ist und sich dieses sich beim Erwärmen auch nicht ändert, entspricht dieser Vorgang im Prinzip einem isochoren Erwärmungsvorgang, bei dem die Wärmezufuhr \(Q_v\) direkt zur inneren Energie führt. Aus diesem Grund wird die innere Energie \(U\) bei idealen Gasen auch mit der spezifischen Wärmekapazität \(c_v\) des isochoren Prozesses beschrieben:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&Q_v = U = c_v \cdot m \cdot T \\[5px]
\label{3982}
&\boxed{U=c_v \cdot m \cdot T} ~~~\text{Innere Energie}~~~~~\text{bzw.}~~~~~\boxed{u=c_v \cdot T}~~~\text{Spezifische innere Energie} \\[5px]
\end{align}

Im Vergleich zur inneren Energie setzt die Enthalpie bereits einen Schritt früher an. Sie berücksichtigt neben der inneren Energie (Befüllen des Volumens mit thermischer Energie) auch noch den Energieaufwand, der für das Erzeugen des Gasvolumens erbracht werden muss. Man kann sich diesen Vorgang in zwei getrennten Schritten gedacht vorstellen. Im ersten Schritt wird das Volumen \(V\) unter dem konstanten Druck \(p\) erzeugt. Hierzu ist die Volumenänderungsarbeit \(W_V=pV\) nötig. Nachdem das Volumen für das Gas unter Aufwendung von Volumenarbeit erzeugt wurde, wird diesem die innere Energie durch Wärme zugeführt [fahre hierzu mit der Maus über die untere Abbildung].

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{5872}
\underline{W_V= pV} ~~~\text{Volumenarbeit}~~~~~\text{bzw.}~~~~~\underline{w_V=pV}~~~\text{Spezifische Volumenarbeit} \\[5px]
\end{align}

Animation, Enthalpie, ideale gase, innere Energie, isochore Erwärmung

Interaktive Animation: "Befüllen" eines Luftballons mit Volumenänderungsarbeit und innerer Energie

Am Beispiel des Luftballons würde dies bedeuten, dass der Ballon zunächst unter Arbeitsaufwand mit dem Druck \(p\) auf das Volumen \(V\) ausgedehnt wird. Der Ballon wird sozusagen per Hand entgegen des Umgebungsdruckes und entgegen der Elastizität der Ballonhülle auseinandergezogen. Hierfür muss die Volumenänderungsarbeit \(W_V=pV\) verrichtet werden. Erst nachdem das Volumen für das noch energielose Gas bereitgestellt wurde, wird diesem die innere Energie \(U\) durch Wärmezufuhr zugeführt und das Gas kommt zu einer Temperatur. Beide Energieumsätze sind in der Enthalpie eines Stoffes enthalten:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{2454}
\underbrace{H}_{\text{Bereitstellung der Gesamtenergie}} = \underbrace{U}_{\text{Bereitstellung der inneren Energie}} + \underbrace{pV}_{\text{Bereitstellung des Volumens}}\\[5px]
\end{align}

In der Regel findet das Bereitstellen des Volumens nicht unabhängig von der Zufuhr von innerer Energie statt. So finden beim isobaren Erwärmungsprozess die beiden getrennt betrachteten Vorgänge gleichzeitig statt. Dabei wird unter Wärmezufuhr \(Q_p\) sowohl die innere Energie zugeführt ("Temperaturerhöhung") als auch gleichzeitig das Volumen bereitgestellt (Volumenvergrößerung) [fahre hierzu mit der Maus über die untere Abbildung].

Animation, Enthalpie, ideale gase, innere Energie, isochore Erwärmung

Interaktive Animation: "Befüllen" eines Luftballons mit Enthalpie

Der energetische Effekt ist bei der isobaren Erwärmung derselbe wie bei den zuvor getrennt betrachteten Vorgängen. Aus diesem Grund wird die Enthalpie \(H\) bei idealen Gasen auch mit der spezifischen Wärmekapazität \(c_p\) des isobaren Prozesses beschrieben! Die ausführliche Herleitung dieser Gleichung wird im nächsten Abschnitt gezeigt.

\begin{align}\;\;\;\;\;
&Q_p = H = c_p \cdot m \cdot T \\[5px]
\label{6577}
&\boxed{H=c_p \cdot m \cdot T} ~~~\text{Enthalpie}~~~~~\text{bzw.}~~~~~\boxed{h=c_p \cdot T}~~~\text{Spezifische Enthalpie} \\[5px]
\end{align}

Auf diese Weise lässt sich die Enthalpie also auch bei dem betrachteten Luftballon als thermodynamischer Energiedurchtritt interpretieren, nämlich die Energie die beim Aufpusten durch die Öffnung des Ballons tritt und diesem sowohl Volumenänderungsarbeit als auch gleichzeitig innere Energie verleiht! Umgekehrt bedeutet dies, dass beim Ausströmen des Gases aus der Ballonöffnung dieser Energiebetrag theoretisch auch wieder vollständig abgegeben werden kann, z.B. über eine Turbine [fahre hierzu mit der Maus über die Abbildung]. 

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Abbildung: Enthalpiedurchtritt beim Aufpusten eines Luftballons

Aus diesem Beispiel wird deutlich, dass gerade bei strömenden Medien die Enthalpie eine wichtige Energiegröße darstellt. So kann anhand der bloßen inneren Energie des Ballongases nicht sofort darauf geschlossen werden, wie viel Energie insgesamt der Luftballon theoretisch nach außen abgeben kann. Der Ballon ist nämlich nicht nur in der Lage die innere Energie seines enthaltenen Gases abzugeben. Darüber hinaus kann der Ballon beim Zusammenziehen eben auch noch Volumenänderungsarbeit umsetzen!

Man stelle hierzu an der Öffnung des Luftballons eine kleine Miniturbine angebracht vor. Durch diese strömt die Luft beim Zusammenziehen des Ballons aus und treibt die Turbine an. Um diesen Prozess energetisch zu charakterisieren reicht die innere Energie alleine nicht aus. Aus der Differenz der inneren Energie die eine ausströmende Luftmasse vor und nach der Turbine besitzt kann nicht auf den Energieumsatz innerhalb der Turbine geschlossen werden, da die innere Energie eben nicht die Volumenänderungsarbeit mitberücksichtigt! Deshalb muss für diesen Fall die Enthalpiedifferenz als tatsächlicher Energieumsatz innerhalb der Turbine herangezogen werden (sofern nicht gleichzeitig eine Wärmezufuhr oder -abfuhr über die Turbine stattfindet)!

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Abbildung: Enthalpiedifferenz als Arbeitsumsatz offener Systeme

Man sollte sich bei der Benutzung des Enthalpiebegriffs die unterschiedliche Bedeutung der darin enthaltenen Terme \(U\) und \(pV\) stets vor Augen führen. Der Energieanteil \(U\) ist im Inneren des Gases gespeichert und der Energieanteil \(pV\) außerhalb des Gases! So entstammt die Volumenänderungsarbeit \(pV\) nicht aus dem Gas selbst sondern sie ist im Prinzip in der Umgebung bzw. in der gespannten Luftballonhülle gespeichert. Der Luftballon zieht sich beim Ausströmen der Luft unter dem Umgebungsdruck und der gespannten Ballonhülle zusammen. Erst durch diese äußeren Einflüsse ist das Gas in der Lage (Volumen-)Arbeit umzusetzen!

Gleichung (\ref{6577}) wurde in diesem Abschnitt aus der Anschauung heraus hergeleitet. Im nächsten Abschnitt soll für diese Gleichung eine mathematische Herleitung gegeben werden.

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