Druckänderungsarbeit im Volumen-Druck-Diagramm

Im vorangegangenen Abschnitt wurde die Druckänderungsarbeit \(W_D\) als Summe von Verschiebearbeit \(W_S\) und Volumenänderungsarbeit \(W_V\) wie folgt hergeleitet:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{5715}
&W_D = W_V + W_S \\[5px]
\label{4461}
&\boxed{W_D = - \int\limits_{V_1}^{V_2}p(V)~\text{d}V + p_2~V_2 - p_1~V_1 }
\end{align}

bzw. als spezifische Druckänderungsarbeit \(w_D\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{8858}
&\boxed{w_D = - \int\limits_{v_1}^{v_2}p(v)~\text{d}v + p_2~v_2 - p_1~v_1 }
\end{align}

Im Folgenden soll eine wesentlich kompaktere Gleichung für die Druckänderungsarbeit gegeben werden. Hierzu wird ein Gas betrachtet, das vom Kompressor zunächst mit dem Volumen \(V_1\) bei einem Druck \(p_1\) ansaugt wird. Anschließend wird das Gas im Inneren bei ansteigendem Druck auf ein Volumen \(V_2\) komprimiert. Die genaue Zustandsänderung soll gemäß der im \(p(V)\)-Diagramm abgebildeten Kurve erfolgen. Nach der Kompression wird das Volumen \(V_2\) bei einem Enddruck \(p_2\) aus dem Kompressor geschoben.

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Abbildung: Zustandsänderung im Volumen-Druck-Diagramm

Zur Ermittlung der Druckänderungsarbeit ist die Gleichung (\ref{5715}) heranzuziehen. Darin können die einzelnen Terme im \(p(V)\)-Diagramm jeweils als Flächen dargestellt werden. Der positive Term der Volumenänderungsarbeit \(W_V = -\int p(V)~\text{d}V\) lässt sich als Fläche unter der Zustandskurve abbilden (Beachte, dass dem Gas bei der Kompression Volumenänderungsarbeit zugeführt wird und dieser Arbeitsumsatz somit mathematisch positiv ist)! Addiert wird gemäß Gleichung (\ref{5715}) nun der Term \(p_2~V_2\), der sich als Rechteckfläche vom Punkt (\(V_2\)|\(p_2\)) bis zum Koordinatenursprung (0|0) darstellen lässt („Ausschiebeenergie“). Von dieser Gesamtfläche wird laut Gleichung (ref\{5715}) nun jene Rechteckfläche abgezogen, die sich vom Punkt (\(V_1\)|\(p_1\)) bis zum Koordinatenursprung (0|0) erstreckt („Einschiebeenergie“).

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Animation: Druckänderungsarbeit im Volumen-Druck-Diagramm 

Effektiv übrig bleibt somit lediglich die Fläche links neben der Zustandskurve. Diese seitliche Fläche lässt sich folglich als Druckänderungsarbeit interpretieren!

Mathematisch ermittelt werden kann diese Fläche als Integral \(\int V(p)~\text{d}p\) innerhalb der Grenzen zwischen \(p_1\) und \(p_2\). Dies wird deutlich, wenn man sich das Koordinatensystem in Gedanken einfach um 90° gedreht und gleichzeitig gespiegelt vorstellt [fahre hierzu mit der Maus über die untere Abbildung]. Die \(x\)-Achse entspricht dann dem Druck und die \(y\)-Achse dem Volumen. In diesem Fall würde sich dann eine \(V(p)\)-Kurve ergeben, deren Fläche unter der Kurve der Druckänderungsarbeit \(W_D\) entspricht:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{8449}
&\boxed{W_D = \int\limits_{p_1}^{p_2}V(p)~dp}~~~\text{gilt allgemein für ein offenes System}
\end{align}

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Abbildung: Druckänderungsarbeit im Volumen-Druck-Diagramm

Da offene Systeme i.d.R. durch spezifische Größen beschrieben werden, ist es sinnvoll die Zustandsänderungen auch in spezifischer Diagrammform darzustellen. Deshalb werden anstelle von \(p(V)\)-Diagrammen meistens p(v)-Diagramme benutzt, bei denen das Volumen als spezifisches Volumen aufgetragen wird. Anschaulich bedeutet dies nichts anderes, als dass sich das dargestellte Volumen auf eine Masse von 1 kg bezieht. Dementsprechend ergibt sich die spezifische Druckänderungsarbeit \(w_D\) als seitliche Fläche in diesem \(p(v)\)-Diagramm:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{1956}
&\boxed{w_D = \int\limits_{p_1}^{p_2}v(p)~dp}~~~\text{gilt allgemein für ein offenes System}
\end{align}

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Abbildung: Spezifische Druckänderungsarbeit im spezifischen Volumen-Druck-Diagramm

Die Gleichung bringt bereits zum Ausdruck, dass für die Ermittlung der Druckänderungsarbeit der Verlauf des Volumens in Abhängigkeit des Drucks \(V(p)\) bekannt sein muss. Die Druckänderungsarbeit ist somit vom Weg auf dem die Zustandsänderung erfolgt abhängig und damit eine typische Prozessgröße.

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