Exkurs: Druckänderungsarbeit als Volumenänderungsarbeit von geschlossenen Systemen

Wie im vorangegangenen Abschnitt erläutert setzt sich die Druckänderungsarbeit \(W_D\) als Summe von Verschiebearbeit \(W_S\) und Volumenänderungsarbeit \(W_V\) zusammen:

\begin{align}\;\;\;\;\; 
\label{5715}
&W_D = W_V + W_S \\[5px]
\label{4461} 
&\boxed{W_D = - \int\limits_{V_1}^{V_2}p(V)~\text{d}V + p_2~V_2 - p_1~V_1 }
\end{align}

Die einzelnen Terme in Gleichung (\ref{4461}) können anhand eines Kolbenverdichters anschaulich nachvollzogen werden, da dabei die gesamten thermodynamischen Vorgänge zeitlich nacheinander ablaufen. Kolbenverdichter finden unter anderem bei der Erzeugung von Druckluft in der Pneumatik Anwendung.

Der elektrisch betriebene Kolbenverdichter besteht im Prinzip aus einem Zylinder, der mit einem Einlass- und Auslassventil versehen ist. In dem Zylinder selbst läuft ein Kolben, der elektrisch angetrieben wird. Zunächst strömt bei sich zurückziehendem Kolben und geöffnetem Einlassventil Luft in den Zylinder. Anschließend wird die Luft bei geschlossenen Ventilen verdichtet. Nach dem Verdichtungsvorgang wird das Auslassventil geöffnet. Dieses Auslassventil verbindet den Zylinder mit einem großen Druckbehälter, in dem die verdichtete Luft gesammelt wird (Sammelbehälter). Der Druck im Druckbehälter wird dadurch konstant gehalten, dass bei Druckluftentnahme aus dem Sammelbehälter der Kolbenverdichter sofort wieder anspringt und verdichtete Luft nachliefert. Somit kommt es im Idealfall gar nicht erst zu einem Druckabfall im Druckbehälter. Das Auslassventil des Verdichters öffnet genau dann, wenn der Druck im Zylinder genauso groß ist wie der Druck im Druckbehälter, sodass die verdichtete Luft bei konstantem Druck aus dem Zylinder ausgeschoben wird.

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Animation: Druckänderungsarbeit eines Kolbenverdichters

Der Kolbenverdichter soll im Folgenden Umgebungsluft mit \(p_1\)= 1 bar auf den Arbeitsdruck \(p_2\)= 4 bar verdichten. Um diesen Vorgang thermodynamisch zu beschreiben wurde bisher ein Masseelement \(m\) mit dem Volumen \(V_1\) betrachtet. Dieses strömte mit dem Druck \(p_1\) in den Verdichter ein. Anschließend wurde es durch die stattfindende Druckerhöhung auf \(p_2\) auf das Volumen \(V_2\) komprimiert. Mit diesem Druck \(p_2\) wurde das nunmehr kleinere Volumenelement \(V_2\) wieder aus dem System ausgeschoben.

Dieser Vorgang soll nun einmal aus einer anderen Perspektive betrachtet werden. Nämlich nicht aus Sicht des Verdichters (offenes System) sondern einmal aus Sicht der Umgebung und einmal aus der Sicht des Druckbehälters (äußere, geschlossene Systeme).

Es wird zunächst die Zustandsänderung der Umgebung betrachtet, d.h. der Raum in dem sich der Verdichter befindet und hieraus Luft ansaugt. Zum Beispiel einen Kellerraum, dessen Fenster und Türen geschlossen sind und es sich somit um ein geschlossenes System handelt (im Prinzip ist dies unerheblich, da die gesamte Erde ebenfalls als geschlossene System betrachtet werden könnte). Zieht sich der Kolben des Verdichters nun zurück, so wird das Volumen der geschlossenen Umgebung letztlich um das Volumen des Zylinders \(V_1\) vergrößert.

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Abbildung: Einschiebearbeit als Volumenänderungsarbeit der Umgebung

Dieser Expansionsvorgang der Umgebungsluft kann dabei als isobar angenommen werden, da sich der Druck im Kellerraum währenddessen praktisch nicht ändern wird. Die Umgebungsluft im geschlossenen Kellerraum expandiert also bei konstantem Druck \(p_1\) um die Volumenänderung des angesaugten Volumens \(V_1 = \Delta V\). Folglich wird die Volumenänderungsarbeit \(W_1= - p_1 \cdot V_1\) von der Umgebung verrichtet (dieser Arbeitsumsatz ist negativ, da von der betrachteten Umgebungsluft Arbeit verrichtet wird):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{8780}
W_1= -p_1~V_1
\end{align}

Nun wird die Zustandsänderung im Druckluftbehälter betrachtet. Auch dieses wird als geschlossenes System behandelt. Die darin befindliche Druckluft kann man sich wiederum als in einer Blase befindlich vorstellen. Wird das vom Verdichter kommende (komprimierte) Volumen \(V_2\) nun in den Druckluftbehälter eingeschoben, so wird die darin gedachte Druckluftblase um dieses Volumen zusammengeschoben. Das Volumen der Druckluftblase verringert sich folglich um das Volumen \(V_2\).

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Abbildung: Ausschiebearbeit als verrichtete Volumenänderungsarbeit am Gas des Druckbehälters

Auch dabei kann dieser Kompressionsvorgang als isobar angenommen werden, wenn der Sammelbehälter nur groß genug ist. Dann wird nämlich der geringe Zustrom nicht wesentlich den Druck im Sammelbehälter ändern. Die Luft im geschlossenen Druckluftbehälter wird also bei konstantem Druck \(p_2\) um die Volumenänderung des ausgeschobenen Volumens \(V_2=\Delta V\) komprimiert. Dementsprechend wird die Volumenänderungsarbeit \(W_2=p_2 \cdot V_2\) am geschlossenen System verrichtet (dieser Arbeitsumsatz ist positiv, da am betrachteten Gas Arbeit verrichtet wird):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{eq:8844}
W_2 = p_2~V_2
\end{align}

Der Energiegehalt der Umgebung ändert sich folglich um die Volumenänderungsarbeit \(W_1\) und der Energiegehalt des Druckluftbehälters um \(W_2\). Ursache dieser Änderungen ist offensichtlich das offene System, das letztlich die Summe beider Volumenänderungsarbeiten zu verantworten hat. Die Änderung des Energiegehaltes ist auf das Ein- bzw. Ausschieben des Gases zurückzuführen und entspricht somit der Verschiebearbeit \(W_S\) des offenen Systems:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{6852}
W_S = W_2+W_1=p_2~V_2-p_1~V_1
\end{align}

Dieses Beispiel zeigt, dass sich die Verschiebearbeit eines offenen Systems als Volumenänderungsarbeit von äußeren, geschlossenen Systemen interpretieren lässt, die mit dem offenen System gekoppelt sind! Das offene System (Verdichter) überträgt sozusagen Energie von einem System (Umgebung) auf ein anderes System (Druckbehälter).

Der Verdichter ändert aber nicht nur den Energiegehalt der beiden äußeren Systeme sondern auch noch den Energiegehalt der eingesaugten Luftmasse (also jener Luftmasse die durch das offene System geschoben wird). Deshalb muss der Verdichtungsvorgang der angesaugten Luftmasse von \(V_1\) auf \(V_2\) für eine Energiebilanzierung ebenfalls mitberücksichtigt werden [fahre hierzu mit der Maus über die untere Abbildung].

Druckaenderungsarbeit, Volumenaenderungsarbeit, Volumenarbeit, geschlossenes System, Beispiel

Interaktive Abbildung: Volumenänderungsarbeit im Kompressor

Diese Volumenänderung als insgesamt dritter Arbeitsumsatz \(W_V\) erfolgt natürlich nicht mehr isobar, sodass hierfür ganz allgemein das Integral der Volumenänderungsarbeit \(-\int p(V)~\text{d}V\) ermittelt werden muss. Die Summe aller drei Arbeitsumsätze ist vom Verdichter zu erbringen und entspricht der insgesamt vom offenen System umgesetzten Druckänderungsarbeit \(W_D\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{3568}
W_D = W_V+W_2+W_1=-\int\limits_{V_1}^{V_2}p(V)~dV + p_2~V_2-p_1~V_1
\end{align}

Beachte, dass der Kompressionsvorgang der Luft von \(V_1\) auf \(V_2\) im Verdichter bei geschlossenen Ventilen erfolgt. Somit kann auch dieser Arbeitsumsatz als Volumenänderungsarbeit \(W_V\) eines geschlossenen Systems betrachtet werden! Es zeigt sich also, dass sich die einzelnen Terme in der der Druckänderungsarbeit stets auf Zustandsänderungen von geschlossenen Systemen zurückführen lassen!

Die isobare Zustandsänderung der Umgebung während dem Einschiebevorgang (Arbeitsumsatz \(W_1\)) geht prinzipiell mit einer Temperaturänderung einher. Die Temperaturänderung hängt davon ab, wie stark sich das Volumen der Umgebungsluft ändert. Hierfür gilt das Gesetz von Gay-Lussac. Es besagt, dass sich bei einem isobaren Prozess die Temperatur im selben Maße ändert wie das Volumen. Die Volumenvergrößerung der Umgebung durch den zurückfahrenden Kolben kann allerdings vernachlässigt werden. Nimmt man bspw. ein Umgebungsvolumen von 50000 Liter an (Raum mit den Maßen 5m x 4m x 2,5m) so würde dieses bei einem Zylindervolumen von \(V_1\)=1 l gerade einmal auf ein Endvolumen von 50001 Liter expandiert werden. Die Volumenänderung der Umgebung und damit auch die Temperaturänderung betrüge in diesem Fall gerade einmal 0,002%. Der Einschiebevorgang der Luft in den Verdichter verursacht in der Praxis also keine nennenswerte Temperaturänderung.

Auch die Temperaturänderung der Druckluft im Sammelbehälter während dem isobaren Ausschiebeprozess (Arbeitsumsatz \(W_2\)), kann aus den oben genannten Gründen in der Praxis vernachlässigt werden. Denn in der Regel ist auch das Zylindervolumen des Verdichters vernachlässigbar klein gegenüber dem Volumen des Sammelbehälters. Der Ausschiebevorgang der verdichteten Luft in den Druckluftbehälter führt in der Praxis also ebenfalls nicht zu einer nennenswerten Temperaturänderung.

Aber dennoch wird man in der Realität eine deutliche Erhöhung der Temperatur zwischen der eingeschobenen und der ausgeschobenen Luft feststellen! Diese Temperaturänderung kommt eben nicht durch den Ein- bzw. Ausschiebevorgang zustande, sondern durch den Kompressionsvorgang im Verdichter selbst (Arbeitsumsatz \(W_V\))! Denn in der Regel erhöht sich bei einer Kompression nicht nur der Druck sondern auch die Temperatur des Gases. Je nach Verdichterart können dabei Temperaturen von über 100 °C entstehen. Aus diesem Grund werden Verdichter auch häufig gekühlt.

Um die Temperaturänderung während dem Verdichtungsvorgang zu ermitteln, kann der Erste Hauptsatz der Thermodynamik für geschlossene Systeme angewandt werden. Denn wie bereits erläutert, erfolgt der Kompressionsvorgang bei beidseitig geschlossenen Ventilen und somit in einem geschlossenen System. Selbst wenn der Verdichter ohne klassische Ventile arbeitet (z.B. Schraubenverdichter), so kann dieser Vorgang dennoch immer auf ein geschlossenes System zurückgeführt werden. Zum Beispiel dadurch, dass man sich einfach eine Blase um die eingesaugte Luftmasse vorstellt. Z.B. eine "Plastiktüte" voller Luft, wobei diese selbst die Systemgrenze bildet. Innerhalb dieser Blase ist die Luftmasse konstant und es handelt sich folglich um ein geschlossenes System. Die eingesaugte "Plastiktüte" voller Luft wird praktisch nur zusammengepresst, ohne dass dabei Masse entweicht noch einströmt.

Der Erste Hauptsatz für ein geschlossenes System besagt nun ganz allgemein, dass die Zufuhr von Arbeit \(W_V\) (Volumenänderungsarbeit) und Wärme \(Q\) in einer entsprechenden Änderung der inneren Energie des Stoffes \(\Delta U\) resultieren:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{7560}
\underbrace{-\int\limits_{V_1}^{V_2}p(V)~dV}_{=W_V} + Q = \Delta U
\end{align}

Für ein ideales Gas ist die Änderung der inneren Energie \(\Delta U\) nur auf die Temperaturänderung \(\Delta T\) zurückzuführen:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{8373}
\Delta U = c_v~m~\Delta T
\end{align}

Mit einer solchen Betrachtung als ideales Gas kann schließlich aus der zugeführten Volumenänderungsarbeit \(W_V\)>0 und der abgeführten Wärme \(Q\)<0 durch Kühlung die resultierende Temperaturänderung \(\Delta T\) bestimmt werden. Oder umgekehrt, kann anhand der Temperaturänderung dann auf die Volumenänderungsarbeit geschlossen werden.

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