Alternative Formulierungen der allgemeinen Gasgleichung

Im vorherigen Abschnitt wurde die allgemeine Gasgleichung (thermische Zustandsgleichung)  in folgender Form hergeleitet:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{1}
\boxed{p  = R_S \cdot \frac{m}{V} \cdot T} \\[5px]
\end{align}

In dieser Darstellungsform kann die Gasmasse \(m\) und das Gasvolumen \(V\) zur Gasdichte \(\rho=\frac{m}{V}\) zusammengefasst werden. Dementsprechend kann die allgemeine Gasgleichung auch wie folgt ausgedrückt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&p  = R_S \cdot \frac{m}{V} \cdot T ~~~\text{mit} ~~~ \frac{m}{V}=\rho ~~~\text{folgt:}\\[5px]
&\boxed{p  = R_S \cdot \rho \cdot T} \\[5px]
\end{align}

Ferner kann in der ursprünglichen Gasgleichung (\ref{1}) die Gasmasse \(m\) auch über die Anzahl der im Gas enthaltenen Teilchen \(n\) (hier als Stoffmenge in der Einheit mol anzugegeben) und deren molarer Masse \(M\) (in \(\frac{\text{kg}}{\text{mol}}\)) beschrieben werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&p  = R_S \cdot \frac{m}{V} \cdot T ~~~\text{mit} ~~~ m= M \cdot n ~~~\text{folgt:}  \\[5px]
&p  = R_S \cdot \frac{n \cdot M}{V} \cdot T   \\[5px]
&p  = \underbrace{R_S \cdot M}_{=R_m} \cdot \frac{n}{V} \cdot T   \\[5px]
\end{align}

Untersucht man in dieser Gleichung das Produkt aus spezifischer Gaskonstante \(R_S\) und molarer Masse \(M\) für unterschiedliche Gase genauer, so stelle sich heraus, dass dieser Ausdruck für alle (idealen) Gase denselben Wert besitzt:

   Spezifische Gaskonstante
\(R_S\) in \(\frac{\text{J}}{\text{kg K}}\)
  Molmasse
\(M\) in \(\frac{\text{kg}}{\text{mol}}\)
  Allgemeine Gaskonstante
\(R_m=R_S \cdot M\) in \(\frac{\text{J}}{\text{mol K}}\)
Argon \(Ar\) 208 x 0,040  = 8,3 
Helium \(He\) 2077 x 0,004  = 8,3
Stickstoff \(N_2\) 297 x 0,028  = 8,3
Sauerstoff \(O_2\) 260 x 0,032  = 8,3
Luft 287 x  0,029 = 8,3
Wasserdampf 462 x  0,018 = 8,3

Tabelle: Spezifische Gaskonstanten und molare Massen ausgewählter Stoffe

Auf eine Nachkommastelle gerundet beträgt dieser Wert für alle genannten Beispiele \(8,3 \frac{\text{J}}{\text{mol K}}\). Geringere Abweichungen hiervon kommen unter anderem dadurch zustande, dass es sich bei den angegebenen Gasen strenggenommen nicht um ideale sondern um reale Gase handelt. Den Eigenschaften eines idealen Gases am nächsten kommt Helium.

Da das Produkt aus spezifischer Gaskonstante \(R_S\) und Molmasse \(M\) offensichtlich für alle idealen Gase unabhängig der Gasart identisch ist wird dieses Produkt deshalb zur universellen Gaskonstante bzw. zur allgemeinen Gaskonstante \(R_m\) zusammengefasst. Genauere Untersuchungen zeigen, dass sich der Wert der universellen Gaskonstante auf \(R_m = 8,3145 \frac{\text{J}}{\text{mol K}} \) beläuft. Demzufolge lässt sich die thermische Zustandsgleichung auch mithilfe dieser allgemeinen Gaskonstante ausdrücken:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{mol}
&\boxed{p  = R_m \cdot \frac{n}{V} \cdot T} ~~~~~\text{mit}~~~ \boxed{R_m = 8,3145 \frac{\text{J}}{\text{mol K}}}=R_S \cdot M~~~\text{universelle Gaskonstante} \\[5px]
\end{align}

Im Umkehrschluss bedeutet dies natürlich, dass anhand der molaren Masse \(M\) eines Gases dessen spezifische Gaskonstante \(R_S\) anhand der allgemeine Gaskonstante \(R_m\) ermittelt werden kann:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{R_S  = \frac{R_m}{M}} \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass in Gleichung (\ref{mol}) keine gasartspezifische Größe zu finden ist! Diese Gleichung ist also völlig unabhängig der Gasart anwendbar! Es ist lediglich die Stoffmenge \(n\) (in mol) der im Gas enthaltenen Teilchen relevant, nicht aber um welche Gasart es sich im speziellen Fall handelt. So nimmt bspw. jedes ideale Gas pro 1 mol an Teilchen unter Normalbedingungen (d.h. bei 1 bar Druck und 0 °C Temperatur) ein Volumen von 22,4 Liter ein! Oder umgekehrt ausgedrückt:

  • In einem Volumen von 22,4 Liter befinden sich unter Normalbedingungen in jedem idealen Gas insgesamt 1 mol an Teilchen wieder!

Da die Stoffmenge von 1 mol einer Teilchenanzahl von \(6,022 \cdot 10^{23}\) entspricht, dient dieser Wert ganz allgemein als Umrechnungsfaktor zwischen der Angabe einer Stoffmenge \(n\) in mol und der entsprechenden Teilchenanzahl \(N\). Dieser Umrechnungsfaktor wird auch als Avogadro-Konstante \(N_A\) bezeichnet mit der Einheit \(\frac{1}{\text{mol}}\) (Beachte, dass die Teilchenanzahl \(N\) im Gegensatz zur Stoffmenge \(n\) einheitenlos ist):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{n=\frac{N}{N_A}} ~~~\text{mit } ~~~ \boxed{N_A = 6,022 \cdot 10^{23} \frac{1}{\text{mol}}} \\[5px]
\end{align}

Folglich kann die allgemeine Gasgleichung anstelle der Stoffmenge \(n\) auch über die Avogadro-Konstante \(N_A\) direkt durch die Teilchenzahl \(N\) ausgedrückt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&p  = R_m \cdot \frac{n}{V}\cdot T  ~~~\text{mit} ~~~n=\frac{N}{N_A} ~~~\text{folgt:}  \\[5px]
\label{k}
&p  = \underbrace{\frac{R_m}{N_A}}_{=k_B} \cdot \frac{N}{V} \cdot T   \\[5px]
\end{align}

Der in Gleichung (\ref{k}) auftretende Quotient \(\frac{R_m}{N_A}\) besteht lediglich aus universellen Größen und ist somit ebenfalls für alle Gasarten identisch. Dieser Ausdruck kann deshalb als neue Konstante definiert werden. Es handelt sich dabei um die sogenannte Boltzmann-Konstante \(k_B\) mit dem Wert \(k_B=1,381·10^{-23} \frac{\text{J}}{\text{K}}\). Somit lässt sich die allgemeine Zustandsgleichung auch wie folgt ausdrücken:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{p  = k_B \cdot \frac{N}{V} \cdot T} ~~~\text{mit } ~~~ \boxed{k_B = 1,381 \cdot 10^{-23} \frac{\text{J}}{\text{K}}}   \\[5px]
\end{align}

Zusammenfassend sind nachfolgend nochmals die unterschiedlichen Darstellungsformen der allgemeinen Gasgleichung in der bruchfreien Form aufgelistet:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{p \cdot V = R_S \cdot m \cdot T} \\[5px]
&\boxed{p = R_S \cdot \rho \cdot T} \\[5px]
&\boxed{p \cdot V = R_m \cdot n \cdot T}~~~~~R_m= 8,3145 \tfrac{\text{J}}{\text{mol K}} \\[5px]
&\boxed{p \cdot V = k_B \cdot N \cdot T}~~~~~k_B= 1,381 \cdot 10^{-23} \tfrac{\text{J}}{\text{K}} \\[5px]
\end{align}

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