Verknüpfung zweier Gaszustände

Mithilfe der allgemeinen Gasgleichung können verschiedene Zustandsgrößen von Gasen berechnet werden sofern die spezifische Gaskonstante \(R_S\) des Gases und die restlichen Größen bekannt sind.

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{0}
&R_S = \frac{p \cdot V}{m \cdot T}    \\[5px]
\end{align}

Im Folgenden soll ein ideales Gas ausgehend vom Zustand 1 mit den entsprechenden Größen \(p_1\), \(V_1\), \(T_1\) und \(m_1\) in den Zustand 2 mit den Größen \(p_2\), \(V_2\), \(T_2\) und \(m_2\) gebracht werden. Hierzu wird das Gas ausgehend des Anfangszustandes erwärmt, die Masse erhöht sowie das Volumen verkleinert. 

allgemeine Gasgleichung; Zustände, Gas-masse, Gas-temperatur, Gas-volumen, Gas-druck

Abbildung: Verknüpfung zweier Zustände über die spezifische Gaskonstante

Dabei stehen die beiden Zustände über die spezifische Gaskonstante \(R_S\) miteinander in Beziehung, denn diese ist eine Stoffgröße und damit unabhängig vom Zustand des Gases. Für beide Zustände 1 und 2 gilt also dieselbe Gaskonstante, die sich nach Gleichung (\ref{0}) jeweils als Quotient aus den Produkten \(pV\) und \(mT\) ergibt. Die beiden Gaszustände sind also durch folgende Gleichung miteinander verknüpft:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\frac{p_1 \cdot V_1}{m_1 \cdot T_1} = R_S =  \frac{p_2 \cdot V_2}{m_2 \cdot T_2}  \\[5px]
\label{1}
&\boxed{\frac{p_1 \cdot V_1}{m_1 \cdot T_1} = \frac{p_2 \cdot V_2}{m_2 \cdot T_2}} ~~~\text{gilt allgemein für ideale Gase}  \\[5px]
\end{align}

Der Vorteil von Gleichung (\ref{1}) gegenüber der allgemeinen Gasgleichung (\ref{0}) ist, dass hierdurch unterschiedliche Gaszustände unabhängig der Gasart miteinander verknüpft werden können. Unabhängig deshalb, da sich in Gleichung (\ref{1}) keinerlei gasartspezifische Größe widerfindet sondern nur Zustandsgrößen stehen. Die genauere Gasart spielt für die Anwendung dieser Gleichung also keine Rolle, sofern es sich dabei um ideale Gase handelt.

Viele thermodynamische Zustandsänderungen laufen in sogenannten geschlossenen Systemen ab. Dies bedeutet, dass sich die Gasmasse während der Zustandsänderung nicht ändert, z.B. während des Kompressionsvorgangs oder Verbrennungsvorgangs in einem Motorzylinder. Somit kann in Gleichung (\ref{1}) \(m_1=m_2\) gesetzt werden und die Masse kürzt sich dementsprechend heraus. Für geschlossene Systeme sind also zwei Zustände nur über den Gasdruck \(p\), das Gasvolumen \(V\) und die Gastemperatur \(T\) miteinander verknüpft:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{b}
&\boxed{\frac{p_1 \cdot V_1}{ T_1} = \frac{p_2 \cdot V_2}{T_2}} ~~~\text{gilt für ideale Gase in einem geschlossenen System}  \\[5px]
\end{align}

Die sich aus Gleichung (\ref{b}) ergebenden Spezialfälle für Zustandsänderung bei

sind in den entsprechenden Abschnitten näher erläutert.

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