Herleitung der allgemeinen Gasgleichung

Im vorherigen Abschnitt wurde erläutert, dass folgende Zustandsgrößen den Gasdruck innerhalb eines geschlossenen Zylinders beeinflussen:

  • Gasmasse
  • Gasvolumen
  • Gastemperatur

Die genaueren Zusammenhänge zwischen diesen Größen und dem Gasdruck sollen im Folgenden geklärt werden.

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Abbildung: Einflussgrößen auf den Gasdruck

 

Es ist davon auszugehen, dass die doppelte Gasmasse auch den doppelten Gasdruck hervorruft, da mit der doppelten Teilchenanzahl auch doppelt so viele Stoßprozesse innerhalb einer bestimmten Zeit stattfinden können (siehe für das Zustandekommen des Gasdruckes auch das Kapitel Druckwirkung in Gasen). Dementsprechend sollte eine Verdreifachung der Gasmasse auch den dreifachen Druck hervorrufen. Und tatsächlich stellt man unter der Voraussetzung, dass Temperatur und Volumen konstant gehalten werden fest, dass sich der Gasdruck \(p\) proportional zur Gasmasse \(m\) verhält:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{m}
&\underline{p \sim m} ~~~~~ T,V=\text{konstant} \\[5px]
\end{align}

Auf dieselbe Weise wie eine Vergrößerung der Gasmasse Einfluss auf den Gasdruck nimmt, sollte auch eine Verkleinerung des Gasvolumens den Druck beeinflussen. Denn ob man bspw. die Gasmasse bei konstantem Volumen verdoppelt oder das Volumen bei konstanter Gasmasse halbiert, hat auf die einzelnen Gasteilchen dieselben Auswirkungen - das einzelne Gasteilchen hat sozusagen nur noch die Hälfte an Platz.

Die entscheidende Größe für den Gasdruck ist also die Teilchendichte; sie wird in beiden Fällen verdoppelt. Und letztlich entscheidet die Teilchendichte darüber wie häufig Stoßprozesse auf Grenzflächen ausgeübt werden (siehe hierzu auch die alternative Formulierung der allgemeinen Gasgleichung mithilfe der Gasdichte \(\rho\) die letztlich beide Größen - Volumen und Masse - bereits in sich vereint). Vorausgesetzt, dass Gasmasse und Gastemperatur konstant gehalten werden, verhält sich der Gasdruck \(p\) somit umgekehrt proportional zum Gasvolumen \(V\), da eine Halbierung des Gasvolumens eine Verdopplung des Gasdruckes zur Folge hat:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{v}
&\underline{p \sim \frac{1}{V}} ~~~~~ T,m=\text{konstant}  ~~~~~\text{Gesetz von Boyle-Mariotte}  \\[5px]
\end{align}

Dieses umgekehrt proportionale Verhalten zwischen Druck und Volumen bei konstanter Temperatur und Masse wird auch Boyle-Mariotte'sches Gesetz genannt. Nähere Informationen und eine experimentelle Bestätigung dieses Zusammenhangs finden sich im entsprechenden Kapitel wieder.

Die im Abschnitt Kelvinskala gezeigt Herleitung brachte bereits zum Ausdruck, dass sich Temperatur und Volumen eines idealen Gases proportional verhalten sofern die Gasmasse und auch der Gasdruck konstant gehalten werden. Wird nun jedoch das Volumen konstant gehalten dann steigt hierfür der Druck proportional zur Gastemperatur an. Dieser proportionale Zusammenhang zwischen Druck \(p\) und Temperatur \(T\) gilt jedoch nur sofern die Temperatur in der Einheit Kelvin angegeben wird!

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{t}
&\underline{p \sim T} ~~~~~ V,m=\text{konstant}  ~~~~~\text{Gesetz von Amontons} \\[5px]
\end{align}

Diese Proportionalität zwischen Druck und Temperatur bei konstantem Volumen und konstanter Masse ist auch als Amontons'sches Gesetz bekannt. Detailliertere Informationen und ein experimenteller Versuchsaufbau zur Bestätigung dieses Zusammenhangs finden sich im entsprechenden Kapitel wieder.

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Abbildung: Abhängigkeit des Gasdruckes von der Gasmasse, dem Gasvolumen und der Temperatur

Die oben genannten qualitativen Gesetzmäßigkeiten können schließlich in einen Gesamtzusammenhang überführt werden, sodass der Druck \(p\) insgesamt proportional zur Gasmasse \(m\), zur Gastemperatur \(T\) und umgekehrt proportional zum Gasvolumen \(V\) ist:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&p \sim \frac{m \cdot T }{V} \\[5px]
\end{align}

Damit ist der Quotient aus \(p \cdot V\) und \(m \cdot T\) konstant und es lässt sich eine entsprechende Proportionalitätskonstante \(R_S\) definieren:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{p}
&\boxed{\frac{p \cdot V}{m \cdot T} =\text{konstant} = R_S} ~~~[R_S] = \frac{{\tfrac{\text{N}}{\text{m²}}} \cdot \text{m³}}{\text{kg K}} = \frac{\text{N} \cdot \text{m}}{\text{kg K}}= \frac{\text{J}}{\text{kg K}} ~~~\text{spezifische Gaskonstante} \\[5px]
\end{align}

Diese Proportionalitätskonstante wird als spezifische Gaskonstante \(R_S\) bezeichnet und ist stoffabhängig. Als Stoffgröße beschreibt die spezifische Gaskonstante also den gesuchten Zusammenhang zwischen Gasmasse, Gastemperatur, Gasvolumen und dem sich hieraus ergebenden Gasdruck (Absolutdruck!):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{tt}
&\boxed{p = R_S \cdot \frac{m \cdot T}{V}} \\[5px]
\end{align}

Gleichung (\ref{tt}) wird auch als thermische Zustandsgleichung oder allgemeine Gasgleichung bezeichnet und gilt für die Betrachtung der Gase als jeweils ideale Gase. In der Praxis zeigt sich jedoch auch bei vielen realen Gasen eine sehr gute Übereinstimmung bei Anwendung mit dieser idealisierten Formel. Der einfacheren Darstellung halber (Vermeidung von Brüchen) wird die allgemeine Gasgleichung sehr häufig in folgender Form angegeben:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{p \cdot V = R_S \cdot m \cdot T} ~~~~~\text{thermische Zustandsgleichung, allgemeine Gasgleichung}\\[5px]
\end{align}

Beachte, dass das Volumen eines Gases eine rein geometrische Größe ist und nicht - wie fälschlicherweise bei Wasser häufig vorgenommen - mit einer Masse gleichgesetzt werden darf! Zwar kann aufgrund der Inkompressibilität des Wassers ein Wasservolumen von 1 Liter gleichgesetzt werden mit einer Masse von 1 kg; bei kompressiblen Medien wie Gasen hingegen funktioniert eine solche direkte Zuordnung zwischen Volumen und Masse allerdings nicht mehr. So kann sich je nach Druck in einer 1-Liter-Flasche eine Luftmasse von bspw. 1,2 g (bei 1 bar Druck), aber auch eine Luftmasse von 12 g (bei entsprechend erhöhtem Druck von 10 bar) befinden.

Im nachfolgenden Abschnitt sind die spezifischen Gaskonstanten für ausgewählte Stoffe aufgeführt.

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