Geschwindigkeiten

Die untere Abbildung zeigt die charakteristische Geschwindigkeitsverteilung der Teilchen eines idealen Gases. Diese Maxwell-Boltzmann-Verteilung wurde im vorherigen Abschnitt näher erläutert und ist durch nachfolgend angegebener Gleichung bestimmt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{p}
&\boxed{  p(v) = 4 \pi \cdot \left(  \frac{m}{2 \pi \cdot k_B \cdot T}  \right)^{\tfrac{3}{2}}  \cdot v^2 \cdot e^{- \frac{m \cdot v^2}{2 k_B \cdot T} } } \\[5px]
\end{align}

Maxwell-Boltzmann-Verteilung, Teilchendichtefunktion, Geschwindigkeit, wahrscheinlichste, arithmetisch, quadratisch, gemittelte, Durchschnittsgeschwindigkeit

Interaktive Abbildung: Geschwindigkeitsverteilung eines idealen Gases

Zur Charakterisierung der Geschwindigkeitsverteilung werden verschiedene Geschwindigkeiten eingeführt, die im Nachfolgenden näher erläutert werden.

Wird zufällig ein Teilchen aus einem Gas herausgegriffen, so ist es am wahrscheinlichsten, dass sich dieses in jenem Geschwindigkeitsbereich mit dem größten Anteil befindet. Dies entspricht dem Hochpunkt der Geschwindigkeitsverteilung und wird wahrscheinlichste Geschwindigkeit \(\hat{v}\) genannt. Mathematisch kann diese Geschwindigkeit durch Nullsetzen der abgeleiteten Teilchendichtefunktion (\ref{p}) ermittelt werden (\(\frac{dp(v)}{v}=0 \)). Als Ergebnis erhält man folgende Formel zur Bestimmung der wahrscheinlichsten Geschwindigkeit:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{w}
&\boxed{ \hat{v} = \sqrt{\frac{2 k_B T}{m}}  } ~~~\text{wahrscheinlichste Geschwindigkeit}\\[5px]
\end{align}

Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit ist also keine reine Funktion der Temperatur sondern auch von der Masse der einzelnen Teilchen abhängig. Somit kann anhand der Temperatur eines Gases nicht unmittelbar auf die wahrscheinlichste Geschwindigkeit geschlossen werden. Zwei unterschiedliche Gase (dessen Teilchen verschiedene Massen haben) weisen somit trotz derselben Temperatur auch unterschiedliche wahrscheinlichste Geschwindigkeiten auf (siehe Abbildung unten). Bei schwereren Gasteilchen werden die wahrscheinlichsten Geschwindigkeiten entsprechend geringer sein als bei leichteren Teilchen. Konkret bedeutet bspw. eine vierfach so große Teilchenmasse nur noch eine halb so große wahrscheinlichste Geschwindigkeit.

Maxwell-Boltzmann-Verteilung, Masse, Geschwindigkeits-Verteilung, wahrscheinlichste, arithmetisch, quadratisch, gemittelte, Geschwindigkeit

Abbildung: Geschwindigkeitsverteilung in Abhängigkeit der Teilchenmasse

Als weitere charakterisierende Geschwindigkeit einer Geschwindigkeitsverteilung dient die arithmetisch gemittelte Geschwindigkeit \(\bar{v}\) eines Teilchens (auch als Durchschnittsgeschwindigkeit bezeichnet). Im Vergleich zur wahrscheinlichsten Geschwindigkeit wird diese hingegen etwas rechts davon liegen, da mehr Teilchen einen höheren Geschwindigkeitsanteil besitzen. Dies wird deutlich wenn die Fläche rechts bzw. links des Hochpunktes miteinander verglichen wird [fahre hierzu mit der Maus über die oberste Abbildung].

Die arithmetisch gemittelte Geschwindigkeit ergibt sich durch Aufsummieren der einzelnen Geschwindigkeiten und anschließender Division durch die Anzahl der Teilchen. Mathematisch lässt sich dies durch das Lösen des Integrals \(\int \! v~p(v) \, \mathrm{d}v\) über den gesamten Geschwindigkeitsbereich von 0 bis \(\infty\) berechnen. Das Ergebnis ergibt sich wie folgt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\bar{v} = \frac{v_1+v_2+v_3+...+v_N}{N} =  \frac{\sum_{i=1}^{N}{v_i}}{N} = \int_0^\infty \! v~p(v) \, \mathrm{d}v \\[5px]
\label{a}
&\boxed{ \bar{v} = \sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi m}}  } ~~~\text{arithmetisch gemittelte Geschwindigkeit} \\[5px]
\end{align}

Auch an dieser Stelle zeigt sich, dass die Temperatur kein unmittelbares Maß für die durschnittliche Teilchengeschwindigkeit darstellt. Die Teilchen in einem Gas mit der vierfachen Teilchenmasse sind trotz gleicher Temperatur im Durchschnitt also nur halb so schnell wie die Teilchen in einem Gas mit einer einfachen Teilchenmasse.

Maßgebend für die mittlere kinetische Energie eines Teilchens ist allerdings nicht die arithmetisch gemittelte Geschwindigkeit sondern die sogenannte quadratisch gemittelte Geschwindigkeit \(\sqrt{\bar{v^2}}\). Denn schließlich nehmen die einzelnen Geschwindigkeiten nicht alle gleich stark Einfluss auf die mittlere kinetische Energie. Höhere Geschwindigkeitsanteile haben durch den quadratischen Einfluss der Geschwindigkeit eine überproportionale Wirkung auf die kinetische Energie. Höhere Geschwindigkeiten beeinflussen die mittlere kinetische Energie also stärker als geringere Geschwindigkeiten. Die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit ergibt sich durch die Bildung des Mittelwertes über die Geschwindigkeitsquadrate der einzelnen Teilchen und anschließendem Ziehen der Quadratwurzel. Mathematisch ist hierbei das Integral \(\int \! v^2 p(v) \, \mathrm{d}v \) im Bereich zwischen 0 und \(\infty\) zu berechnen. Im Ergebnis stellt sich dies wie folgt dar:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\sqrt{\bar{v^2}} = \sqrt{\frac{v_1^2+v_2^2+v_3^2+...+v_N^2}{N}} =  \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}{v_i^2}}{N}} = \sqrt{\int_0^\infty \! v^2~p(v) \, \mathrm{d}v }\\[5px]
\label{q}
&\boxed{ \sqrt{\bar{v^2}} = \sqrt{\frac{3 k_B T}{m}} } ~~~\text{quadratisch gemittelte Geschwindigkeit} \\[5px]
\end{align}

Die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit ist wie auch die anderen Geschwindigkeiten zuvor neben der Temperatur auch von der Teilchenmasse abhängig. Grundsätzlich ist allerdings die mittlere Geschwindigkeit größer als die wahrscheinlichste Geschwindigkeit und die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit wiederum größer als die mittlere Geschwindigkeit. Dabei stehen die unterschiedlichen Geschwindigkeiten unabhängig der Temperatur oder der Masse jeweils in einem konstanten Verhältnis zueinander. So ist die mittlere Geschwindigkeit stets um 12,8 % und die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit um 22,5 % größer als die wahrscheinlichste Geschwindigkeit.

Es zeigt sich, dass die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit jene Geschwindigkeit darstellt, die maßgebend für die mittlere kinetische Energie eines Teilchens ist:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\bar{E}_{kin} &= \tfrac{E_{kin,1}+E_{kin,2}+E_{kin,3} + ... + E_{kin,N}}{N} = {\tfrac{\frac{1}{2}m\cdot v_1^2+\frac{1}{2}m\cdot v_2^2+\frac{1}{2}m\cdot v_3^2+...+\frac{1}{2}m\cdot v_N^2}{N}}  \\[5px]
&= \frac{1}{2}m\cdot {\tfrac{v_1^2+v_2^2+v_3^2+...+v_N^2}{N}} = \frac{1}{2} m \cdot  \left(\sqrt{\bar{v^2}}\right)^2  \\[5px]
\end{align}

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{e}
\boxed{\bar{E}_{kin} = \frac{1}{2} m \cdot  \left(\sqrt{\bar{v^2}}\right)^2}  \\[5px]
\end{align}

Wird die Gleichung für die quadratisch gemittelte Geschwindigkeit (\ref{q}) in die Gleichung für die mittlere kinetische Energie (\ref{e}) eingesetzt, dann zeigt sich, dass die mittlere kinetische Energie eines Teilches nur von der Temperatur abhängig ist:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\bar{E}_{kin} = \frac{1}{2} m \cdot  \left(\sqrt{\bar{v^2}}\right)^2 = \frac{1}{2} m \cdot  \frac{3 k_B T}{m}   \\[5px]
&\boxed{\bar{E}_{kin}=\frac{3}{2}~k_B~T }  \\[5px]
\end{align}

Die mittlere kinetische Energie eines Teilchens ist unmittelbar mit der Temperatur verknüpft und nicht von der Teilchenmasse abhängig! Somit ist die Temperatur direkt ein Maß für die mittlere kinetische Energie der Gasteilchen eines idealen Gases!

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