Gesetz von Gay-Lussac

Findet eine Zustandsänderung bei gleichbleibendem Druck statt, so bezeichnet man diesen Prozess auch als isobare Zustandsänderung. Beispiel einer isobaren Zustandsänderung ist die Ausdehnung eines Gases in einem sogenannten Gasthermometer.

Das Gasthermometer besteht aus einem Glasröhrchen innerhalb dessen sich ein Gas (im einfachsten Fall Luft oder für Tieftemperaturanwendungen auch Helium) befindet. Das Gasvolumen ist durch einen Tropfen aus Quecksilber verschlossen, sodass das eingeschlossene Gas nicht entweichen kann. Es handelt sich also um ein geschlossenes System, innerhalb dessen die Gasmasse stets konstant ist (\(m\)=konstant). Wird das im Röhrchen befindliche Gas nun erwärmt, so dehnt es sich entgegen dem Umgebungsdruck aus und drückt den Quecksilbertropfen nach oben. Dabei bleibt der Gasdruck durch das sich ausdehnende Gas konstant, denn der Quecksilbertropfen gibt praktisch dem Druckanstieg nach. Hierbei ist es der umgebende Luftdruck (und die i.d.R. allerdings zu vernachlässigende Gewichtskraft des Quecksilbertropfens) der dem Gas seinen konstanten Druck mit rund 1 bar aufzwingt.

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Interaktive Abbildung: Zustandsänderung bei konstantem Druck (isobare Zustandsänderung)

Das Gas kann nun beliebig erwärmt werden (z.B. mit einer Heißluftpistole) und das sich einstellende Gasvolumen an einer am Glasröhrchen befindlichen Volumenskala abgelesen werden. Dabei sollte das Gasvolumen gleichmäßig erwärmt werden, sodass das Gas auch eine einheitliche Temperatur aufweist. Deshalb ist es sinnvoller das Gas zunächst vollständig zu erwärmen und den Abkühlvorgang zu beobachten, da dieser gleichmäßiger über das gesamte Gasvolumen erfolgt. Mithilfe eines solchen Gasthermometers kann nun die Abhängigkeit des Gasvolumens von der Temperatur bei konstantem Druck und konstanter Masse untersucht werden.

Anmerkung: Mit dem vorliegenden Versuchsaufbau wird nicht etwa die Temperatur gemessen wird, wie man anhand des etwas irreführenden Begriffs "Gasthermometer" erwarten könnte, sondern es wird das Gasvolumen bei verschiedenen Temperaturen ermittelt (der Begriff "Gasvolumeter" wäre an dieser Stelle wohl besser geeignet)!

Obwohl sich nach Auswertung des Versuchs im Diagramm ein linearer Zusammenhang zwischen der Gastemperatur und dem Gasvolumen zeigt, so liegt dennoch keine Proportionalität zwischen diesen Größen vor! Denn Proportionalität bedeutet, dass bspw. eine Verdopplung des Wertes einer Größe zur Verdopplung des Wertes einer anderen Größe führt. Dies ist bei den vorliegenden Größen nicht der Fall! So beträgt das Gasvolumen bei einer Temperatur von 50 °C rund 1,22 cm³. Bei der doppelten Temperatur von 100 °C ist das Gasvolumen hingegen nicht um den doppelten Wert auf 2,44 cm³ gestiegen sondern hat sich lediglich auf 1,41 cm³ ausgedehnt. Es ist folglich keine Proportionalität zwischen der Temperatur in °C und dem Volumen gegeben!

Die Proportionalität zwischen der Temperatur und dem Volumen zeigt sich erst, wenn die Temperatur in der Grundeinheit Kelvin und nicht in °C angegeben wird [fahre hierzu mit der Maus über die obere Abbildung oder betrachte die untere Abbildung]! Werden die Temperaturen in die Kelvineinheit umgerechnet, so entspricht nun die Temperatur von 373 K (100 °C) dem 1,156-fachen Temperaturwert von 323 K (50 °C). Der Volumenwert nimmt also im selben Maße wie der Temperaturwert zu - eine Proportionalität ist gegeben. Die Proportionalität zeigt sich folglich auch dadurch, dass der Quotient von Volumen und Temperatur für alle Wertepaare konstant ist.

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Abbildung: Zustandsänderung bei konstantem Druck (isobare Zustandsänderung)

Soll also das Volumen bei einem isobaren Prozess um das Doppelte vergrößert werden, so muss die Temperatur auf den doppelten Wert erhöht werden (in Kelvin gemessen!). Umgekehrt sinkt das Volumen auf die Hälfte des ursprünglichen Wertes, wenn das Gas bei einem isobaren Vorgang auf die Hälfte der Ausgangstemperatur abgekühlt wird. Die Proportionalität von Volumen und Temperatur bei einem isobaren Vorgang wurde durch den Physiker Joseph Louis Gay-Lussac näher untersucht, weshalb diese Gesetzmäßigkeit auch als Gay-Lussac'sches Gesetz bekannt ist:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{V \sim T} ~~~~~\text{bzw.}~~~~~\boxed{ \frac{V}{T}= \text{konstant}}~~~~~\text{für}~~~~~ p,m=\text{konstant} \\[5px]
\end{align}

Hinweis: Die Proportionalität zwischen der Temperatur in Kelvin und dem Volumen ist nicht etwa zufällig. Denn genau auf dem oben beschriebenen Versuchsprinzip des Gasthermometers gründet überhaupt erst die Kelvinskala (siehe hierzu den entsprechenden Abschnitt). Beachte, dass sich nur dann ein proportionaler Zusammenhang zwischen zwei Größen ergibt, wenn sich deren Veranschaulichung im Diagramm durch eine Ursprungsgerade darstellen lässt. Dies ist nur für die Temperaturdarstellung in der Einheit Kelvin gegeben.

Offensichtlich gilt also für alle Wertepaare von Volumen und Temperatur und damit für alle Gaszustände dieselbe Konstante. Deshalb entspricht bei einem isobaren Vorgang eines geschlossenen Systems ganz allgemein der Quotient aus Volumen und Temperatur in einem beliebigen (Anfangs-)Zustand (1) auch dem Quotienten aus Volumen und Temperatur in einem beliebigen (End-)Zustand (2):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}} \\[5px]
\end{align}

Dieser Zusammenhang entspricht letztlich dem allgemeinen Zusammenhang  zweier Zustände für geschlossene Systeme für den Spezialfall eines isobaren Vorgangs mit \(p_1=p_2\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\frac{p_1 \cdot V_1}{T_1} = \frac{p_2 \cdot V_2}{T_2} ~~~~~\text{mit} ~~~~~ p_1=p_2 ~~~~~\text{folgt:} \\[5px]
&\underline{\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} } \\[5px]
\end{align}

Auch die Konstanz des Quotienten aus Volumen und Temperatur bei einem isobaren Prozess (\(p\)=konstant) in einem geschlossenen System (\(m\)=konstant) lässt sich anhand der bereits hergeleiteten thermischen Zustandsgleichung erkennen. Wird diese Gleichung nach dem Quotienten \(\frac{V}{T}\) umgestellt, so zeigen sich rechts des Gleichheitszeichens lediglich konstante Größen.

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\frac{V}{T} = \underbrace{R_S \cdot \frac{m}{p}}_{=\text{konstant}} \\[5px]
&\underline{\frac{V}{T} =\text{konstant}} \\[5px]
\end{align}

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