Gesetz von Amontons

Zustandsänderungen, die bei konstantem Volumen erfolgen, werden auch als isochore Zustandsänderungen bezeichnet. Eine solche isochore Zustandsänderung eines Gases liegt bspw. bei Gasflaschen vor, die durch Sonneneinstrahlung erwärmt werden. Das Gasvolumen ist dabei alleine durch die Form der Flasche bestimmt, die sich während der Zustandsänderung nicht ändert.

Mithilfe eines angebrachten Druckmesser und eines Thermometers an der Gasflasche kann dabei die Abhängigkeit des Gasdruckes von der Temperatur bei konstantem Gasvolumen und konstanter Gasmasse untersucht werden. Die Erwärmung kann bspw. mit Hilfe eines Heißluftföns erfolgen.

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Interaktive Abbildung: Zustandsänderung bei konstantem Volumen (isochore Zustandsänderung)

ACHTUNG: Niemals eine handelsübliche Gasflasche mit explosionsfähigem Inhalt auf diese Weise erwärmen – Lebensgefahr!

Wird der Druck in Abhängigigkeit der Temperatur (in °C) in ein Diagramm aufgetragen, so zeigt sich dass der Druck linear mit der Temperatur ansteigt. Jedoch liegt in dieser Form noch keine Proportionalität vor! Denn Proportionalität bedeutet, dass die Verdopplung der einen Größe eine Verdopplung der anderen Größe bedingt; oder anders ausgedrückt, dass der Quotient beider Größe konstant ist. So beträgt im vorliegenden Fall bei einer Temperatur von 25 °C der Druck 1,01 bar. Eine Verdopplung der Temperatur auf 50 °C bewirkt jedoch nicht den doppelten Druck von 2,02 bar sondern nur ein Druck von 1,09 bar. Beide Größen sind demnach nicht proportional zueinander. 

Druck und Temperatur sind nur dann proportional, wenn die Temperatur in der Einheit Kelvin und nicht in °C angegeben wird [fahre hierzu mit der Maus über die obere Abbildung oder betrachte die untere Abbildung]! Nur dann ist der Quotient aus Druck und Temperatur für alle Wertepaare konstant und entspricht der Steigung der Ursprungsgeraden im Diagramm. Beachte, dass eine Proportionalität zweier Größe demnach nur dann gegeben ist, wenn es sich im Diagramm um eine Ursprungsgerade handelt!

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Abbildung: Zustandsänderung bei konstantem Volumen (isochore Zustandsänderung)

Anmerkung: Der Schnittpunkt der Geraden mit der Temperaturachse im \(p(\vartheta)\) entspricht dem absoluten Nullpunkt, weshalb sich bei Verwendung der Kelvinskala dann tatsächlich eine Ursprungsgerade mit dem entsprechenden Ergebnis ergibt, dass Temperatur und Druck proportional zueinander sind. Mehr Informationen hierzu im Kapitel Kelvinskala.

Wird während einer isochoren Zustandsänderung also bspw. die Temperatur eines Gases durch Wärmezufuhr verdoppelt (Temperatur in Kelvin ausgedrückt!), so erhöht sich der Gasdruck ebenfalls auf den doppelten Wert. Umgekehrt sinkt der Gasdruck auf die Hälfte, wenn die Temperatur auf die Hälfte verringert wird. Diese Gesetzmäßigkeit geht zurück auf die Untersuchungen von Guillaume Amontons, weshalb dieser Zusammenhang auch als Amontons'sches Gesetz bezeichnet wird (manchmal auch als 2. Gay-Lussac'sches Gesetz genannt):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{p \sim T} ~~~~~\text{bzw.}~~~~~\boxed{ \frac{p}{T}= \text{konstant}}~~~~~\text{für}~~~~~ V,m=\text{konstant} \\[5px]
\end{align}

Es gilt also für alle Wertepaare von Druck und Temperatur und damit für alle Gaszustände dieselbe Konstante. Deshalb entspricht der Quotient aus Druck und Temperatur bei einem isochoren Vorgang eines geschlossenen Systems in einem beliebigen (Anfangs-)Zustand (1) auch dem Quotienten aus Druck und Temperatur in einem beliebigen (End-)Zustand (2):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}} \\[5px]
\end{align}

Dieser Zusammenhang ergibt sich letztlich aus dem allgemeinen Zusammenhang zweier Zustände für geschlossene Systeme für den Spezialfall eines isochoren Prozesses mit \(V_1=V_2\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\frac{p_1 \cdot V_1}{T_1} = \frac{p_2 \cdot V_2}{T_2} ~~~~~\text{mit} ~~~~~ V_1=V_2 ~~~~~\text{folgt:} \\[5px]
&\underline{\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} } \\[5px]
\end{align}

Anhand der bereits hergeleiteten thermischen Zustandsgleichung wird auch die Konstanz des Quotienten aus Druck und Temperatur bei einem isochoren Prozess (\(V\)=konstant) in einem geschlossenen System (\(m\)=konstant) ersichtlich. So zeigt sich nach Umstellen der Gleichung nach dem Quotienten \(\frac{p}{T}\), dass sich dann rechts des Gleichheitszeichens lediglich konstante Größen befinden.

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\frac{p}{T} = \underbrace{R_S \cdot \frac{m}{V}}_{=\text{konstant}} \\[5px]
&\underline{\frac{p}{T} =\text{konstant}} \\[5px]
\end{align}

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