Gesetz von Boyle-Mariotte

Erfolgen thermodynamische Prozesse bei konstanter Temperatur, so werden diese als isotherme Zustandsänderungen bezeichnet. Das langsame Zusammenpressen einer Luftpumpe bei geschlossenem Auslassventil ist bspw. eine (quasi-)isotherme Zustandsänderung. Der Vorgang sollte deshalb langsam erfolgen, sodass sich eine eventuelle Erwärmung rasch durch das Luftpumpengehäuse ausgleichen kann und es somit nicht zu einer Temperaturänderung kommt. Dabei wird man rasch feststellen, dass mit dem verkleinerten Volumen ein entsprechender Druckanstieg verbunden ist.

Die genaue Abhängigkeit des Gasdrucks vom Volumen während einer isothermen Zustandsänderung in einem geschlossenen System (\(m\)=konstant) kann mithilfe einer Spritze untersucht werden. Dabei wird an dem ansonsten offenen Ende der Spritze ein Druckmesser angebracht. Die Gasvolumina können je nach Kolbenstellung verschieden eingestellt und der genaue Wert anhand der aufgemalten Skala abgelesen werden. Auch dabei ist auf eine langsame Zustandsänderung zu achten, um eine Erwärmung des Gases weitestgehend zu vermeiden.

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Abbildung: Zustandsänderung bei konstanter Temperatur (isotherme Zustandsänderung)

Wird die Messreihe in einem \(p(V)\)-Diagramm veranschaulicht, so ergibt sich eine sogenannte Hyperbel. Dies bedeutet, dass sich Druck und Volumen umgekehrt proportional verhalten. D.h. eine Verdopplung des Volumens lässt den Druck auf die Hälfte des ursprünglichen Wertes sinken. Anhand der Wertetabelle kann dies relativ einfach überprüft werden. Umgekehrt führt eine Halbierung des Volumens zu einer Verdopplung des Druckes. Folglich ist nicht mehr der Quotient aus beiden Größen konstant wie bei einer direkten Proportionalität sondern das Produkt! Die umgekehrte Proportionalität von Volumen und Druck bei einem isothermen Prozess wurde von den Physikern Robert Boyle und Edme Mariotte experimentell entdeckt, weshalb diese Gesetzmäßigkeit auch als Boyle-Mariotte'sches Gesetz bekannt ist.

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{p \sim \frac{1}{V}} ~~~~~\text{bzw.}~~~~~\boxed{p \cdot V = \text{konstant}}~~~~~\text{für}~~~~~ T,m=\text{konstant} \\[5px]
\end{align}

Anmerkung: Mathematisch ausgedrückt bedeutet diese umgekehrte Proportionalität, dass der Druck proportional zum Umkehrwert (reziproker Wert) des Volumens \(\frac{1}{V}\) ist (aus diesem Grund wird ein solcher Zusammenhang auch als umgekehrte Proportionalität bezeichnet).

Beachte, dass grundsätzlich auch dabei wieder gilt, dass der Quotient aus den Größen die sich links und rechts vom Proportionalitätszeichen befinden konstant ist. Dies führt aufgrund des dabei auftretenden Doppelbruchs allerdings dazu, dass damit letztlich das Produkt aus Druck und Volumen konstant ist. Umgekehrte Proportionalität zwischen zwei Größen bedeutet also immer, dass nicht mehr der Quotient der Größen sondern das Produkt dieser Größen konstant ist.

Es gilt also für alle Wertepaare von Druck und Volumen und somit für alle Gaszustände derselbe konstante Wert. Deshalb gilt grundsätzlich bei einem isothermen Vorgang eines geschlossenen Systems, dass das Produkt aus Druck und Volumen in einem beliebigen (Anfangs-)Zustand (1) auch dem Produkt aus Druck und Volumen in einem beliebigen (End-)Zustand (2) entspricht:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{p_1 \cdot V_1 = p_2 \cdot V_2} \\[5px]
\end{align}

Dieser Zusammenhang ergibt sich auch aus dem allgemeinen Zusammenhang zweier Zustände für geschlossene Systeme für den Spezialfall eines isothermen Vorgangs mit \(T_1=T_2\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\frac{p_1 \cdot V_1}{T_1} = \frac{p_2 \cdot V_2}{T_2} ~~~~~\text{mit} ~~~~~ T_1=T_2 ~~~~~\text{folgt:} \\[5px]
&\underline{p_1 \cdot V_1 = p_2 \cdot V_2 } \\[5px]
\end{align}

Ebenfalls zeigt sich die Konstanz des Produktes aus Druck und Volumen bei einem isothermen Prozess (\(T=\text{konstant}\)) in einem geschlossenen System (\(m=\text{konstant}\)) anhand der bereits hergeleiteten thermischen Zustandsgleichung. Wird diese Gleichung nach dem Produkt \(p \cdot V\) umgestellt, so zeigen sich rechts des Gleichheitszeichens lediglich konstante Größen:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&p \cdot V = \underbrace{R_S \cdot m \cdot T}_{=\text{konstant}} \\[5px]
&\underline{p \cdot V =\text{konstant}} \\[5px]
\end{align}

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