Änderung der Inneren Energie von idealen Gasen

Im vorherigen Abschnitt wurde anschaulich erläutert, dass im Inneren von idealen Gasen letztlich nur die Bewegungsenergie der Gasteilchen als innere Energie existiert und diese dann folglich direkt mit der Temperatur verknüpft sein muss (denn die Bewegungsenergie stellt letztlich ein Maß für die Temperatur dar). Darüber hinaus gilt für ideale Gase stets der Erste Hauptsatz der Thermodynamik, der die Änderung der inneren Energie \(\Delta U\) durch einen äußeren Energieumsatz (Wärme \(Q\) und/oder Arbeit \(W\)) beschreibt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{\Delta U = W + Q } \\[5px]
\end{align}

Die Änderung der inneren Energie (Änderung der Bewegungsenergie der Teilchen) wird damit unweigerlich eine Änderung der Temperatur zur Folge haben. Es stellt sich dabei die Frage wie für ein ideales Gas die Änderung der inneren Energie \(\Delta U\) anhand der Temperaturänderung \(\Delta T\) ermittelt werden kann. Hierzu wird folgendes Experiment betrachtet. Ein ideales Gas der Masse \(m\) ist in einer Gasflasche eingeschlossen. Das Gas kann sein Volumen also nicht ändern. Somit ist ein Arbeitsumsatz auf mechanischem Wege durch Expansion oder Kompression ausgeschlossen (\(W=0\)). Damit findet sich eine Wärmezufuhr \(Q\) vollständig in der Änderung der inneren Energie \(\Delta U\) wieder:

\begin{align}\;\;\;\;\;
& \Delta U  = \underbrace{W}_{=0}+Q= Q \\[5px]
\label{u}
& \underline{\Delta U  = Q} \\[5px]
\end{align}

Änderung, innere Energie, ideale Gase, ideales Gas, Experiment, Versuch, Temperatur-änderung, isochore, Erwärmung

Abbildung: Experimentelle Bestimmung der Änderung der inneren Energie

Anmerkung: Ein thermodynamischer Vorgang bei dem sich das Volumen eines Gases nicht ändert, wird auch als isochorer Prozess bezeichnet. Das genannte Beispiel stellt einen solchen isochoren Prozess dar.

Um den Einfluss der inneren Energieänderung auf die Temperaturänderung zu ermitteln müssen also nicht aufwendige Untersuchungen zur Bewegungsenergie der einzelnen Teilchen angestellt werden. Nach Gleichung (\ref{u}) genügt es den wesentlich einfacher herzustellenden Zusammenhang zwischen einer äußeren Wärmezufuhr \(Q\) (die dann direkt der Änderung der inneren Energie \(\Delta U\) entspricht) und der resultierenden Temperaturerhöhung \(\Delta T\) eines isochoren Prozesses zu untersuchen. Die zugeführte Energie kann bspw. über die elektrische Leistung eines Heizgerätes relativ bestimmt werden.

Dabei zeigt sich, dass die Temperaturänderung \(\Delta T\) proportional zur zugeführten Wärme \(Q\) ist, d.h. eine doppelte Temperaturänderung erfordert auch eine doppelt so große Wärmezufuhr:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{q}
& Q \sim \Delta T \\[5px]
\end{align}

Des Weiteren stellt man fest, dass umso mehr Wärme erforderlich wird, umso größer die zu erwärmende Masse ist. Für eine doppelt so große Masse ist auch eine doppelt so große Wärmeenergie \(Q\) notwendig um sie dementsprechend zu erwärmen. Wärme \(Q\) und Masse \(m\) sind damit ebenfalls proportional zueinander: 

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{m}
& Q \sim m \\[5px]
\end{align}

Insgesamt betrachtet ist also die (zugeführte) Wärme \(Q\) proportional zur Masse \(m\) und zur Temperaturänderung \(\Delta T\). Der Proportionalitätsfaktor zwischen diesen Größen wird als spezifische Wärmekapazität \(c_v\) bezeichnet und ist eine reine Stoffkonstante, die im Idealfall nicht von der Temperatur abhängig ist sondern nur von der Gasart:

\begin{align}\;\;\;\;\;
& Q \sim m \cdot \Delta T \\[5px]
\label{c}
& \underline {Q = c_v \cdot m \cdot \Delta T} ~~~~~ \text{mit}~~~[c_v]=\frac{\text{J}}{\text{kg} \cdot \text{K}} ~~~\text{als spezifische Wärmekapazität} \\[5px]
\end{align}

Die spezifische Wärmekapazität gibt anschaulich an wie viel Energie notwendig ist um die Temperatur eines Stoffes der Masse 1 kg um 1 K zu erwärmen.

Nach Gleichung (\ref{u}) ist nun der gesuchte Zusammenhang zwischen der Änderung der inneren Energie \(\Delta U\) und der Temperaturänderung \(\Delta T\) für ein ideales Gas gefunden: 

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{d}
& \boxed{ \Delta U = c_v \cdot m \cdot \Delta T} ~~~\text{mit } \Delta T = T_2-T_1~~~\text{gilt allgemein für ideale Gase!} \\[5px]
\end{align}

ACHTUNG: Die für die Änderung der inneren Energie relevante Proportionalitätskonstante \(c_v\) wird nur deshalb als "Wärme"kapazität bezeichnet da sie für den isochoren Prozess (und nur für den isochoren Prozess!) nämlich gleichzeigt den Wärmeumsatz beschreibt - siehe Gleichung (\ref{c}). Aus diesem Grund ist auch der Zusatz "\(v\)" (für den isochoren Prozess stehend) im Index hinzugefügt. Diese Einschränkung gilt nur für den Wärmeumsatz, nicht jedoch für die Änderung der inneren Energie. Für die Änderung der inneren Energie gilt Gleichung (\ref{d}) für jedes ideale Gas gleichermaßen und bleibt nicht auf den isochoren Prozess beschränkt! Man darf sich an dieser Stelle also nicht durch Index "\(v\)" in Gleichung (\ref{d}) täuschen lassen und der Meinung verfallen, dass diese Gleichung nur für den isochoren Prozess gilt.

Die Änderung der inneren Energie nach Gleichung (\ref{d}) gilt für jedes ideale Gas und dies unabhängig davon wie der Erwärmungsprozess nun genau abläuft. Dies wird auch deutlich, wenn man sich die Bedeutung der inneren Energie nochmals vor Augen führt. Da die innere Energie (= Bewegungsenergie der Teilchen) nur von der Temperatur abhängig ist, ist folglich die Änderung der inneren Energie eindeutig bestimmt, wenn man die Anfangstemperatur ("Anfangsenergie") und Endtemperatur ("Endenergie") kennt. Auf welchem Prozessweg das Gas nun genau von seiner Anfangstemperatur zur Endtemperatur gelangt ist für die Änderung der damit verbundenen inneren Energie irrelevant. Die innere Energie ist eben eine Zustandsgröße und nicht prozessabhängig! Um dies nochmals deutlich zu machen, wird im nächsten Abschnitt auf eine Analogie zwischen innerer Energie und Lageenergie näher eingegangen. 

Auch wenn in der Thermodynamik häufig nur die Änderung der inneren Energie \(\Delta\) relevant ist, so kann für ideale Gase auch die innere Energie \(U\) selbst ermittelt werden. Hierzu stelle man sich ein Gas in einem Zylinder vor, das im Ausgangzustand zunächst bis auf den absoluten Nullpunkt heruntergekühlt ist. In diesem Zustand sind alle Teilchen in Ruhe und das Gas besitzt folglich keinerlei innere Energie. Nun wird dem Gas isochor die Wärmeenergie \(Q\) zugeführt bis dieses im Endzustand die Temperatur \(T\) erreicht hat. Die gesamt zugeführte Wärme die nötig war, um das Gas bis zu dieser Temperatur \(T\) zu erwärmen, findet sich schließlich als innere Energie \(U\) wieder. Somit trägt das Gas bei dieser Temperatur \(T\) die folgende innere Energie \(U\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{t}
& \boxed{ U = c_v \cdot m \cdot T} ~~~\text{gilt allgemein für perfekte Gase!} \\[5px]
\end{align}

Anmerkung: Strenggenommen kann die spezifische Wärmekapazität \(c_v\) auch für ideale Gase von der Temperatur abhängig sein. Die Gleichungen (\ref{d}) und (\ref{t}) gelten dann nicht mehr uneingeschränkt. Wird aber vorausgesetzt dass eine solche Temperaturabhängigkeit nicht existiert, dann spricht man häufig auch von perfekten Gasen. Sofern nicht ausdrücklich anders erwähnt, soll im Folgenden allerdings immer von perfekten Gasen ausgegangen werden auch wenn der Einfachheit halber nur von idealen Gasen die Rede ist.

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