Isobarer Prozess

Für einen isobaren Prozess, bei dem sich das Volumen nicht ändert (\(V_1=V_2\)), ergibt sich die Entropieänderung gemäß der allgemeingültigen Entropiegleichung idealer Gase nur über die Temperaturen:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\Delta S = m \cdot c_p \cdot  \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + m \cdot R_S \cdot \overbrace{\ln\left(\frac{p_1}{p_2}\right)}^{=0} \\[5px]
\label{a}
&\boxed{\Delta S = m \cdot c_p \cdot \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)} \\[5px]
\end{align}

Alternativ kann die Entropieänerung auch über das Volumenverhältnis bestimmt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\Delta S = m \cdot c_v \cdot  \overbrace{\ln\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{=0} + m \cdot c_p \cdot \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) \\[5px]
&\boxed{\Delta S = m \cdot c_p \cdot \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)} \\[5px]
\end{align}

Wie bereits bei der isochoren Zustandsänderung, so erhält man auch bei der isobaren Zustandsänderung einen exponentiellen Verlauf im \(T(S)\)-Diagramm. Diesen erhält man nach Auflösen von Gleichung (\ref{a}), wobei anstelle des Endzustandes (\(T_2\) und \(S_2\)) ein beliebiger Zustand gewählt werden kann (\(T\) und \(S\)):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\Delta S =S-S_1 = m \cdot c_p \cdot \ln\left(\frac{T}{T_1}\right) \\[5px]
&\text{e}^{S-S_1} = \text{e}^{m \cdot c_p \cdot \ln\left(\frac{T}{T_1}\right)} \\[5px]
&\text{e}^{S-S_1} = \text{e}^{m \cdot c_p}  \cdot \text{e}^{\ln\left(\frac{T}{T_1}\right)} \\[5px]
&\text{e}^{S-S_1} = \text{e}^{m \cdot c_p}  \cdot \frac{T}{T_1} \\[5px]
&T = T_1 \cdot \dfrac{\text{e}^{S-S_1}}{\text{e}^{c_p \cdot m}} \\[5px]
&\boxed{T(S) = T_1 \cdot \text{e}^{\left(\dfrac{S-S_1}{c_p \cdot m} \right)} } ~~~~~\text{isobarer Prozess} \\[5px]
\end{align}

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Interaktive Abbildung: Entropie-Temperatur-Diagramm eines isobaren Prozesses

Vergleicht man an dieser Stelle den Entropie-Temperatur-Verlauf des isobaren Prozesses mit dem des isochoren Prozesses, so unterscheiden sich beide Funktionen lediglich durch die spezifische Wärmekapazität:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{T(S) = T_1 \cdot \text{e}^{\left(\dfrac{S-S_1}{c_v \cdot m} \right)} }~~~~~\text{isochorer Prozess} \\[5px]
\end{align}

Da die spezifische Wärmekapazität der isobaren Zustandsänderung \(c_p\) stets größer als die der isochoren Zustandsänderung \(c_v\) ist, verläuft die Zustandskurve für den isobaren Prozess flacher als die des isochoren Prozesses. Um dieselbe Endtemperatur bei einer isobaren Expansion zu erreichen wie bei einer isochoren Zustandsänderung, muss demnach mehr Wärme zugeführt werden. Nur auf diese Weise lässt sich eine größere Entropieänderung erzielen, die dann auf dieselbe Endtemperatur führt.

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Abbildung: Vergleich eines isobaren und isochoren Prozesses im Entropie-Temperatur-Diagramm

Die beim isobaren Prozess insgesamt umgesetzte Wärme \(Q\) ergibt sich als Fläche unter der Zustandskurve. Sie kann durch Integration der Funktionsgleichung \(T(S)\) innerhalb der Grenzen von \(S_1\) bis \(S_2\) erhalten werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&Q = \int\limits_{S_1}^{S_2} T(S) ~ \text{d}S \\[5px]
&Q = \int\limits_{S_1}^{S_2} T_1 \cdot \text{e}^{\left(\dfrac{S-S_1}{c_p \cdot m} \right)} ~ \text{d}S \\[5px]
&Q = \left[T_1 \cdot c_p \cdot m \cdot \text{e}^{\left(\dfrac{S-S_1}{c_p \cdot m} \right)} \right]^{S_2}_{S_1} \\[5px]
&Q = T_1 \cdot c_p \cdot m \cdot \text{e}^{\left(\dfrac{S_2-S_1}{c_p \cdot m} \right)} - T_1 \cdot c_p \cdot m \cdot \overbrace{\text{e}^{ 0}}^{=1}   \\[5px]
&Q = T_1 \cdot c_p \cdot m \cdot \text{e}^{\left(\dfrac{S_2-S_1}{c_p \cdot m} \right)} - T_1 \cdot c_p \cdot m   \\[5px]
&Q = T_1 \cdot c_p \cdot m \cdot \left[ \text{e}^{\left(\dfrac{S_2-S_1}{c_p \cdot m} \right)} - 1 \right]  \\[5px]
\label{ds}
&\boxed{Q = T_1 \cdot c_p \cdot m \cdot \left[ \text{e}^{\left(\dfrac{\Delta S}{c_p \cdot m} \right)} - 1 \right]}  \\[5px]
\end{align}

Gleichung (\ref{ds}) gibt den Wärmeumsatz anhand der Entropieänderung \(\Delta S\) wieder. Wird für die Entropieänderung die Gleichung (\ref{a}) verwendet, dann erhält man nach Einsetzen in Gleichung (\ref{ds}) die bekannte Formel für isobare Prozesse:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&Q = T_1 \cdot c_p \cdot m \cdot \left[ \text{e}^{\left(\dfrac{\Delta S}{c_p \cdot m} \right)} - 1 \right]  \\[5px]
&Q = T_1 \cdot c_p \cdot m \cdot \left[ \text{e}^{\left(\dfrac{m \cdot c_p \cdot \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)}{c_p \cdot m} \right)} - 1 \right]  \\[5px]
&Q = T_1 \cdot c_p \cdot m \cdot \left[\text{e}^{ \ln\left(\frac{T_2}{T_1} \right) } - 1 \right]  \\[5px]
&Q = T_1 \cdot c_p \cdot m \cdot \left[\frac{T_2}{T_1} - 1 \right]  \\[5px]
&Q = c_p \cdot m \cdot T_2 - c_p \cdot m \cdot T_1  \\[5px]
&Q = c_p \cdot m \cdot \left(T_2 - T_1 \right)  \\[5px]
&\boxed{Q = c_p \cdot m \cdot \Delta T} \\[5px]
\end{align}

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