Isochorer Prozess

Für einen isochoren Prozess, bei dem sich das Volumen nicht ändert (\(V_1=V_2\)), ergibt sich die Entropieänderung gemäß der allgemeingültigen Entropiegleichung idealer Gase nur über die Temperaturen:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\Delta S = m \cdot c_v \cdot  \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + m \cdot R_S \cdot \overbrace{\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)}^{=0} \\[5px]
\label{a}
&\boxed{\Delta S = m \cdot c_v \cdot \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)} \\[5px]
\end{align}

Alternativ kann die Entropieänerung auch über das Druckverhältnis bestimmt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\Delta S = m \cdot c_v \cdot  \ln\left(\frac{p_2}{p_1}\right) + m \cdot c_p \cdot \overbrace{\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)}^{=0} \\[5px]
&\boxed{\Delta S = m \cdot c_v \cdot \ln\left(\frac{p_2}{p_1}\right)} \\[5px]
\end{align}

Eine isochore Zustandsänderung zeigt im \(T(S)\)-Diagramm einen exponentiellen Verlauf. Diesen erhält man nach Auflösen von Gleichung (\ref{a}), wobei anstelle des Endzustandes (\(T_2\) und \(S_2\)) ein beliebiger Zustand gewählt werden kann (\(T\) und \(S\)):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\Delta S =S-S_1 = m \cdot c_v \cdot \ln\left(\frac{T}{T_1}\right) \\[5px]
&\text{e}^{S-S_1} = \text{e}^{m \cdot c_v \cdot \ln\left(\frac{T}{T_1}\right)} \\[5px]
&\text{e}^{S-S_1} = \text{e}^{m \cdot c_v}  \cdot \text{e}^{\ln\left(\frac{T}{T_1}\right)} \\[5px]
&\text{e}^{S-S_1} = \text{e}^{m \cdot c_v}  \cdot \frac{T}{T_1} \\[5px]
&T = T_1 \cdot \dfrac{\text{e}^{S-S_1}}{\text{e}^{c_v \cdot m}} \\[5px]
&\boxed{T(S) = T_1 \cdot \text{e}^{\left(\dfrac{S-S_1}{c_v \cdot m} \right)} } \\[5px]
\end{align}

Entropie-Temperatur-Diagramm, isochorer Prozess, isochore Zustandsänderung, Fläche, Wärme, Funktion, Entropieänderung

Abbildung: Entropie-Temperatur-Diagramm eines isochoren Prozesses

Die beim isochoren Prozess umgesetzte Wärme \(Q\) ergibt sich als Fläche unter der Zustandskurve. Sie kann durch Integration der Funktionsgleichung \(T(S)\) innerhalb der Grenzen von \(S_1\) bis \(S_2\) erhalten werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&Q = \int\limits_{S_1}^{S_2} T(S) ~ \text{d}S \\[5px]
&Q = \int\limits_{S_1}^{S_2} T_1 \cdot \text{e}^{\left(\dfrac{S-S_1}{c_v \cdot m} \right)} ~ \text{d}S \\[5px]
&Q = \left[T_1 \cdot c_v \cdot m \cdot \text{e}^{\left(\dfrac{S-S_1}{c_v \cdot m} \right)} \right]^{S_2}_{S_1} \\[5px]
&Q = T_1 \cdot c_v \cdot m \cdot \text{e}^{\left(\dfrac{S_2-S_1}{c_v \cdot m} \right)} - T_1 \cdot c_v \cdot m \cdot \overbrace{\text{e}^{ 0}}^{=1}   \\[5px]
&Q = T_1 \cdot c_v \cdot m \cdot \text{e}^{\left(\dfrac{S_2-S_1}{c_v \cdot m} \right)} - T_1 \cdot c_v \cdot m   \\[5px]
&Q = T_1 \cdot c_v \cdot m \cdot \left[ \text{e}^{\left(\dfrac{S_2-S_1}{c_v \cdot m} \right)} - 1 \right]  \\[5px]
\label{ds}
&\boxed{Q = T_1 \cdot c_v \cdot m \cdot \left[ \text{e}^{\left(\dfrac{\Delta S}{c_v \cdot m} \right)} - 1 \right]}  \\[5px]
\end{align}

Gleichung (\ref{ds}) gibt den Wärmeumsatz anhand der Entropieänderung \(\Delta S\) wieder. Wird für die Entropieänderung die Gleichung (\ref{a}) verwendet, dann erhält man nach Einsetzen in Gleichung (\ref{ds}) die bekannte Formel für isochore Prozesse:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&Q = T_1 \cdot c_v \cdot m \cdot \left[ \text{e}^{\left(\dfrac{\Delta S}{c_v \cdot m} \right)} - 1 \right]  \\[5px]
&Q = T_1 \cdot c_v \cdot m \cdot \left[ \text{e}^{\left(\dfrac{m \cdot c_v \cdot \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)}{c_v \cdot m} \right)} - 1 \right]  \\[5px]
&Q = T_1 \cdot c_v \cdot m \cdot \left[\text{e}^{ \ln\left(\frac{T_2}{T_1} \right) } - 1 \right]  \\[5px]
&Q = T_1 \cdot c_v \cdot m \cdot \left[\frac{T_2}{T_1} - 1 \right]  \\[5px]
&Q = c_v \cdot m \cdot T_2 - c_v \cdot m \cdot T_1  \\[5px]
&Q = c_v \cdot m \cdot \left(T_2 - T_1 \right)  \\[5px]
&\boxed{Q = c_v \cdot m \cdot \Delta T} \\[5px]
\end{align}

Im nächsten Abschnitt wird auf den isobaren Prozess und dessen Darstellung im Entropie-Temperatur-Diagramm näher eingegangen.

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