Isentroper Prozess

Da es sich bei einem isentropen Prozess um eine (reversible) Zustandsänderung in einem adiabaten System handelt, findet per Definition kein Wärmeumsatz über die Systemgrenze hinweg statt. Gemäß der Definition der Entropie erfolgt damit auch keine Änderung in der Entropie (Beachte, dass Wärmeumsätze immer mit Entropieänderungen verbunden sind, welche aber in diesem Fall nicht stattfinden):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\text{S} =\frac{\text{d}Q}{T}  ~~~~~\text{mit}~~~\text{d}Q=0~~~\text{folgt:}\\[5px]
&\boxed{\Delta S =0}\\[5px]
\end{align}

Gerade aus diesem Grund, dass bei einer solchen Zustandsänderung keine Entropieänderung stattfindet, d.h. der Vorgang bei konstanter Entropie abläuft, wird dieser Prozess als isentrop bezeichnet. Die isentrope Zustandsänderung verläuft im Entropie-Temperatur-Diagramm folglich als vertikale Linie. Während bei einer isentropen Kompression die Temperatur steigt, sinkt sie bei einer isentropen Expansion.

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Abbildung: Entropie-Temperatur-Diagramm eines isentropen Prozesses

Anhand der allgemein hergeleiteten Entropiegleichung soll exemplarisch gezeigt werden, dass unmittelbar aus den Gesetzmäßigkeiten des isentropen Prozesses keine Änderung in der Entropie zu verzeichnen ist. So stehen Temperatur und Volumen eines isentropen Prozesses zunächst in folgendem Zusammenhang:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{\frac{T_2}{T_1}= \left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{1-\kappa}} ~~~~~\text{mit}~\boxed{\kappa=\frac{c_p}{c_v}} \\[5px]
\end{align}

Wird diese Beziehung in die allgemeingültige Entropiegleichung (\ref{4}) eingesetzt, dann ergibt sich für die Entropieänderung eines isentropen Prozesses der Wert Null:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{4}
&\Delta S = m \cdot c_v \cdot  \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + m \cdot R_S \cdot \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) ~~~~~\text{gilt allgemein für ideale Gase}\\[5px]
&\Delta S = m \cdot c_v \cdot  \ln\left(\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{1-\kappa}\right) + m \cdot R_S \cdot \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) \\[5px]
&\Delta S = m \cdot c_v \cdot  (1-\kappa) \ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right) + m \cdot R_S \cdot \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) \\[5px]
&\Delta S = \left(c_v \cdot  (1-\kappa)  + R_S \right) \cdot m \cdot \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) ~~~\text{mit}~\underline{\kappa=\frac{c_p}{c_v}} ~~~\text{und}~\underline{R_S=c_p-c_v}~~~\text{folgt:}\\[5px]
&\Delta S = \left(c_v \cdot  (1-\frac{c_p}{c_v})  + c_p - c_v \right) \cdot m \cdot \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) \\[5px]
&\Delta S = \underbrace{\left(c_v-c_p+c_p- c_v \right)}_{=0} \cdot m \cdot \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) \\[5px]
&\boxed{\Delta S = 0} ~~~~~\text{gilt für isentrope Prozesse}\\[5px]
\end{align}

Im nächsten Abschnitt wird auf den isochoren Prozess und dessen Darstellung im Entropie-Temperatur-Diagramm näher eingegangen.

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