Isothermer Prozess

Zustandsänderungen von Gasen können mithilfe der Entropie nicht nur in Volumen-Druck-Diagrammen anschaulich dargestellt werden sondern auch in Entropie-Temperatur-Diagrammen. Während sich der Arbeitsumsatz in Volumen-Druck-Diagrammen als Fläche unter der Zustandskurve ergibt, kann in Entropie-Temperatur-Diagrammen der Wärmeumsatz (bzw. Dissipationsenergien) anschaulich als Fläche unter der Kurve abgebildet werden. Dies soll im Folgenden anhand eines isothermen Prozesses verdeutlicht werden.

Eine isotherme Zustandsänderung ergibt sich im Entropie-Temperatur-Diagramm als horizontale Linie, da die Temperatur während des Prozesses stets konstant bleibt. Während sich die Entropie bei einer Expansion vergrößert, verringert sie sich bei einer Kompression.

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Abbildung: Entropie-Temperatur-Diagramm eines isothermen Prozesses

Die isotherme Entropieänderung für ideale Gase bestimmt sich aus der allgemein hergeleiteten Entropiegleichung mit dem Spezialfall \(T_1=T_2\) wie folgt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\Delta S = m \cdot c_v \cdot  \overbrace{\ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)}^{=0} + m \cdot R_S \cdot \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)  \\[5px]
\label{a}
&\boxed{\Delta S = m \cdot R_S \cdot \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)} \\[5px]
\end{align}

Alternativ kann die Entropieänderung auch über das Druckverhältnis bestimmt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\Delta S = m \cdot c_p \cdot  \overbrace{\ln\left(\frac{T_2}{T_1} \right)}^{=0} + m \cdot R_S \cdot \ln\left(\frac{p_1}{p_2}\right) \\[5px]
\label{b}
&\boxed{\Delta S = m \cdot R_S \cdot \ln\left(\frac{p_1}{p_2}\right)}  \\[5px]
\end{align}

Die Entropievergrößerung bei einer Expansion ergibt sich aus der Tatsache, dass bei diesem Prozess Wärme zugeführt werden muss, um der normalerweise stattfindenden Abkühlung entgegenzuwirken. Mit der Wärmezufuhr \(\text{d}Q\) ist aber immer auch ein Erhöhung der Entropie \(\text{d}S\) verbunden, da beide Größen gemäß der Definition der Entropie über die Temperatur \(T\) (bei der ein Wärmeübertrag \(\text{d}Q\) erfolgt) miteinander gekoppelt sind:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\text{d}S = \frac{\text{d}Q}{T} \\[5px]
\end{align}

Umgekehrt muss während eines isothermen Kompressionsvorganges Wärme und damit Entropie dem System entzogen werden, um die Temperatur konstant zu halten.

Da bei einer isothermen Zustandsänderung die Wärme stets bei konstanter Temperatur zu- oder abgeführt wird, ergibt sich die insgesamt umgesetzte Wärme \(Q\) als Produkt von Entropieänderung \(\Delta S\) und Temperatur \(T\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\Delta S = \frac{Q}{T} \\[5px]
\label{q}
&\boxed{Q = T \cdot \Delta S} \\[5px]
\end{align}

Gleichung (\ref{q}) bringt mathematisch zum Ausdruck, dass sich die umgesetzte Wärme für eine isotherme Zustandsänderung als Rechteckfläche im Entropie-Temperatur-Diagramm ergibt (mit der "Höhe" \(T\) und der Breite \(\Delta S\)). In Kombination mit der Entropieänderung nach Gleichung (\ref{a}) bzw. (\ref{b}) bestimmt sich der Wärmeumsatz nach der bereits bekannten Formel für isotherme Prozesse:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&Q = T \cdot \Delta S   \\[5px]
&\boxed{Q = T \cdot m \cdot R_S \cdot \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) = T \cdot m \cdot R_S \cdot \ln\left(\frac{p_1}{p_2}\right)}  \\[5px]
\end{align}

Die Fläche unter der Zustandskurve in einem \(T(S)\)-Diagramm entspricht nicht nur bei einem isothermen Prozess der umgesetzten Wärmeenergie. Auch wenn sich bei anderen Zustandsänderungen die Temperatur mit der Entropie ändert, so kann man letztlich eine solche Kurve als „Treppenstufenfunktion“ und damit als aus unzählig vielen kleinen Isothermen aufgebaut vorstellen! Entropie-Temperatur-Diagramme eignen sich deshalb besonders für die Darstellung der Wärmeumsätze, da sich diese direkt als Fläche unter den Zustandskurven ergeben.

Für den allgemeinen Fall, dass sich die Temperatur mit der Entropie ändert, muss die Temperaturfunktion \(T(S)\) innerhalb der gegebenen Grenzen integriert werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{Q = \int\limits_{S_1}^{S_2} T(S) ~ \text{d}S}\\[5px]
\end{align}

Im nächsten Abschnitt wird auf den isentropen Prozess und dessen Darstellung im Entropie-Temperatur-Diagramm näher eingegangen.

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