Polytroper Prozess
Für polytrope Prozess zeigte sich, dass die Volumenänderungsarbeit \(W_V\) über den Polytropenexponenten \(n\) und den Isentropenexponent \(\kappa=\frac{c_p}{c_v}\) wie folgt mit der Temperaturänderung \(\Delta T\) verknüpft ist:
\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{w}
W = \left[\frac{\kappa-1}{n-1}\right] \cdot m \cdot c_v \cdot \Delta T \\[5px]
\end{align}
Für die differentielle Schreibweise gilt dementsprechend:
\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{d}
\text{d}W = \left[\frac{\kappa-1}{n-1}\right] \cdot m \cdot c_v \cdot \text{d}T \\[5px]
\end{align}
Wird der erste Hauptsatz der Thermodynamik ebenfalls in differentieller Form ausgedrückt
\begin{align}\;\;\;\;\;
\text{d}W + \text{d}Q = \text{d}U~\text{,} \\[5px]
\end{align}
und zudem die Wärmeenergie \(\text{d}Q\) über die Temperatur \(T\) mit der Entropieänderung \(\text{d}S\) verknüpft
\begin{align}\;\;\;\;\;
\text{d}Q=T \cdot \text{d}S~\text{,} \\[5px]
\end{align}
sowie die Änderung der inneren Energie \(\text{d}U\) über die Temperaturänderung \(\text{d}T\) ausgedrückt
\begin{align}\;\;\;\;\;
\text{d}U=m \cdot c_v \cdot \text{d}T ~\text{,} \\[5px]
\end{align}
dann ergibt sich der erste Hauptsatz wie folgt:
\begin{align}\;\;\;\;\;
\overbrace{\left[\frac{\kappa-1}{n-1}\right] \cdot m \cdot c_v \cdot \text{d}T }^{=\text{d}W}+ \overbrace{T \cdot \text{d}S}^{=\text{d}Q} = \overbrace{m \cdot c_v \cdot \text{d}T}^{=\text{d}U} \\[5px]
\end{align}
Diese Gleichung kann nun nach der Entropieänderung \(\text{d}S\) umgestellt werden; es folgt hieraus schließlich:
\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{11}
\text{d}S &= \left[\frac{n-\kappa}{n-1}\right] \cdot m \cdot c_v \cdot \frac{1}{T} \cdot \text{d}T \\[5px]
\end{align}
Die makroskopische Änderung der Entropie \(\Delta S\) ergibt sich schließlich durch Integration der Gleichung (\ref{11}) innerhalb der Grenzen von \(T_1\) und \(T_2\):
\begin{align}\;\;\;\;\;
\int\limits_{S_1}^{S_2} ~\text{d}S &= \left[\frac{n-\kappa}{n-1}\right] \cdot m \cdot c_v \cdot \int\limits_{T_1}^{T_2} \frac{1}{T} ~\text{d}T \\[5px]
\Delta S &= \left[\frac{n-\kappa}{n-1}\right] \cdot m \cdot c_v \cdot \ln \left[T\right]^{T_2}_{T_1} \\[5px]
\end{align}
\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{dd}
\boxed{\Delta S = \left[\frac{n-\kappa}{n-1}\right] \cdot m \cdot c_v \cdot \ln \left( \frac{T_2}{T_1} \right)} \\[5px]
\end{align}
Beachte, dass sich mit Gleichung (\ref{dd}), je nach gewähltem Polytropenexponenten \(n\), auch die im vorhergehenden Abschnitt behandelten Spezialfälle beschreiben lassen mit:
\begin{align}\;\;\;\;\;
n=0 ~~~~~ &\text{für isobaren Prozess } \\[5px]
n=1 ~~~~~ &\text{für isothermen Prozess } \\[5px]
n=\kappa ~~~~~ &\text{für isentropen Prozess } \\[5px]
n=\infty ~~~~~ &\text{für isochoren Prozess } \\[5px]
\end{align}
Eine polytrope Zustandsänderung zeigt im \(T(S)\)-Diagramm im Allgemeinen einen exponentiellen Verlauf (Ausnahme: isothermer und isentroper Prozess). Diesen erhält man nach Auflösen von Gleichung (\ref{dd}), wobei anstelle des Endzustandes (\(T_2\) und \(S_2\)) ein beliebiger Zustand gewählt werden kann (\(T\) und \(S\)):
\begin{align}\;\;\;\;\;
&\Delta S =S-S_1 = \left[\frac{n-\kappa}{n-1}\right] \cdot m \cdot c_v \cdot \ln\left(\frac{T}{T_1}\right) \\[5px]
&\text{e}^{S-S_1} = \text{e}^{\left[\frac{n-\kappa}{n-1}\right] \cdot m \cdot c_v \cdot \ln\left(\frac{T}{T_1}\right)} \\[5px]
&\text{e}^{S-S_1} = \text{e}^{\left[\frac{n-\kappa}{n-1}\right] \cdot m \cdot c_v} \cdot \text{e}^{\ln\left(\frac{T}{T_1}\right)} \\[5px]
&\text{e}^{S-S_1} = \text{e}^{\left[\frac{n-\kappa}{n-1}\right] \cdot m \cdot c_v} \cdot \frac{T}{T_1} \\[5px]
&T = T_1 \cdot \dfrac{\text{e}^{S-S_1}}{\text{e}^{\left[\frac{n-\kappa}{n-1}\right] \cdot m \cdot c_v}} \\[5px]
&\boxed{T(S) = T_1 \cdot \text{e}^{\left[\dfrac{n-1}{n-\kappa}\right] \cdot \left(\dfrac{S-S_1}{m \cdot c_v} \right)} } \\[5px]
\end{align}
Das unten abgebildete Entropie-Temperatur-Diagramm zeigt ausgewählte polytrope Zustandsänderungen. Ebenfalls abgebildet sind die im Kapitel Spezielle Prozesse vorgestellten Zustandsänderungen [fahre hierzu mit der Maus über die Abbildung]. Alle Prozesse finden dabei ausgehend des Anfangszustandes mit der Entropie \(S_1\) statt. Die Prozesse zeigen sowohl einen Expansionsvorgang als auch einen Kompressionsvorgang von Luft (für \(p_1=1 \text{ bar}\), \(V_1=1 \text{ Liter}\) und \(T_1=300 \text{ K}\)).
Abbildung: Entropie-Temperatur-Diagramm ausgewählter polytroper Prozesse