Entropieänderung mit Dissipation

Um thermodynamische Prozesse hinsichtlich ihrer Ablaufrichtung beurteilen zu können muss die Entropiebilanz betrachtet werden. Gemäß dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik laufen thermodynamische Vorgänge nämlich nur in Richtung zunehmender (erzeugter Entropie) ab. Deshalb muss der entropische Zustand vor und nach eine Zustandsänderung betrachtet werden, um herauszufinden ob und wie viel Entropie bei einem Prozess erzeugt wird. Unter Berücksichtigung von Dissipationsenergien soll im Folgenden für ideale Gase in geschlossenen Systemen die Entropieänderung anhand bekannter Anfangs- und Endzustände ermittelt werden.

Hierfür ist zunächst der erste Hauptsatz erforderlich. Der erste Hauptsatz der Thermodynamik lässt sich in differentieller Form unter Berücksichtigung von Dissipationsenergien wie folgt darstellen:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{\text{d}Q + \text{d}W_{Diss} + \text{d}W_V  = \text{d}U} \\[5px]
\end{align}

Der Wärmeumsatz \(\text{d}Q\) kann über die Temperatur \(T\) anhand der damit verbundenen Entropieänderung \(\text{d}S_{Wärme}\) ermittelt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\text{d}S_{Wärme} = \frac{\text{d}Q}{T} ~~~~~\Rightarrow~~~~~\underline{\text{d}Q = T \cdot \text{d}S_{Wärme}} \\[5px]
\end{align}

Die dissiperte Energie \(\text{d}W_{Diss}\) kann analog über die erzeugte Entropie \(\text{d}S_{erz}\) bestimmt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\text{d}S_{erz} = \frac{\text{d}W_{Diss}}{T} ~~~~~\Rightarrow~~~~~\underline{\text{d}W_{Diss} = T \cdot \text{d}S_{erz}} \\[5px]
\end{align}

Die gesamte infinitesimale Entropieänderung \(\text{d}S_{ges}\) durch Wärme und Dissipation ergibt sich aus dem ersten Hauptsatz somit wie folgt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&T \cdot \text{d}S_{Wärme} + T \cdot \text{d}S_{erz} + \text{d}W_V  = \text{d}U \\[5px]
&T \left( \text{d}S_{Wärme} + \text{d}S_{erz} \right)  = \text{d}U - \text{d}W_V \\[5px]
\label{0}
&\underbrace{\text{d}S_{Wärme} +  \text{d}S_{erz}}_{\text{d}S_{ges}}  = \frac{\text{d}U - \text{d}W_V}{T} \\[5px]
\label{a}
&\text{d}S_{ges} = \frac{\text{d}U - \text{d}W_V}{T} \\[5px]
\end{align}

Für die Entropieänderung während einer makroskopischen Zustandsänderung muss Gleichung (\ref{a}) integriert werden. Die Integration der rechten Seite des Gleichheitszeichens wurde für ideale Gase im Abschnitt Entropieänderung für ideale Gase bereits ausführlich durchgeführt. Die Entropieänderung bestimmt sich somit auch für Vorgänge mit Dissipation nach der identischen Formel:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\text{d}S_{ges} &= \frac{\text{d}U - \text{d}W_V}{T} \\[5px]
\text{d}S_{ges} &= \frac{m \cdot c_v \cdot  \text{d}T + p \cdot \text{d}V}{T} \\[5px]
\text{d}S_{ges} &= m \cdot c_v \cdot  \frac{1}{T} \cdot \text{d}T + \frac{p}{T} \cdot \text{d}V ~~~~~\text{mit}~~~~~\frac{p}{T}=m \cdot R_S \cdot \frac{1}{V} ~~~~~\text{folgt:}\\[5px]
\text{d}S_{ges} &= m \cdot c_v \cdot \frac{\text{d}T}{T} + m \cdot R_S \cdot \frac{\text{d}V}{V} \\[5px]
\Delta S_{ges} = \int\limits_{S_1}^{S_2} ~\text{d}S_{ges} &= m \cdot c_v \cdot  \int\limits_{T_1}^{T_2} \frac{\text{d}T}{T} + m \cdot R_S \cdot \int\limits_{V_1}^{V_2} \frac{\text{d}V}{V} \\[5px]
\Delta S_{ges} = [S]^{S_2}_{S_1} &= m \cdot c_v \cdot  \ln[T]^{T_2}_{T_1} + m \cdot R_S \cdot \ln[V]^{V_2}_{V_1} \\[5px]
\end{align}

\begin{align}\;\;\;\;\;
\boxed{\Delta S_{ges} = m \cdot c_v \cdot  \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + m \cdot R_S \cdot \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)}  \\[5px]
\end{align}

Diese Gleichung gilt also sowohl für reversible als auch für irreversible Prozesse bei denen Entropie erzeugt wird. Dies ist auch nicht verwunderlich, denn schließlich handelt es sich bei der Entropie um eine Zustandsgröße. Damit ist auch die Änderung der Entropie nur vom Anfangs- und Endzustand abhängig und nicht vom Prozessweg. Auf welche Weise die Entropieänderung zustande kommt und ob dabei Entropie erzeugt wird, spielt für die Anwendung der Gleichung keine Rolle! Denn die Entropieänderung (wie sie auch immer zustande kommt) spiegelt sich früher oder später schließlich in der Temperatur \(T_2\) oder im Volumen \(V_2\) bzw. im Druck \(p_2\) des Gases wieder.

Beachte, dass durch die allgemeine Gasgleichung die Entropieänderung auch über die Druckverhältnisse ermittelt werden kann (nähere Informationen finden sich im Abschnitt Entropieänderung für ideale Gase wieder): 

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\boxed{\Delta S_{ges} = m \cdot c_p \cdot  \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + m \cdot R_S \cdot \ln\left(\frac{p_1}{p_2}\right)} \\[5px]
&\boxed{\Delta S_{ges} = m \cdot c_v \cdot  \ln\left(\frac{p_2}{p_1}\right) + m \cdot c_p \cdot \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)} \\[5px]
\end{align}

Wie Gleichung (\ref{0}) zeigt, kann die gesamte Entropieänderung \(\text{d}S\) eines Prozesses aus der Summe von Entropieänderung durch Wärmeumsatz (\(\text{d}S_{Wärme}\)) und Entropieänderung durch Dissipation (\(\text{d}S_{Diss}\)) ausgedrückt werden. Da in Entropie-Temperatur-Diagrammen immer stets die gesamte Entropieänderung aufgetragen wird, beinhaltet die Fläche unter der Kurve nicht nur den Wärmeumsatz sondern auch eventuell auftretende Dissipationsenergien:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\text{d}S = \text{d}S_{Wärme} + \text{d}S_{Diss} \\[5px]
&\text{d}S = \frac{\text{d}Q}{T} + \frac{\text{d}W_{Diss}}{T} \\[5px]
&T ~ \text{d}S= \text{d}Q + \text{d}W_{Diss} \\[5px]
& \boxed{\int\limits_{S_1}^{S_2} T(S)~\text{d}S = Q + W_{Diss}} ~\rightarrow ~\text{Fläche unter der } T(S)- \text{Funktion}  \\[5px]
\end{align}

Lediglich im reversiblen Fall ohne Dissipation von Energie entspicht die Fläche unter der Zustandskurve dem alleinigen Wärmeumsatz. Umgekehrt entspricht für adiabate Systeme ohne Wärmeumsatz die Fläche unter der Kurve dann der alleinigen dissipierten Energie (siehe hierzu auch den Abschnitt Expansion gegen ein Vakuum).

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