Isochorer Prozess
Für einen isochoren Prozess, bei dem sich das Volumen nicht ändert (\(V_1=V_2\)), ergibt sich die Entropieänderung gemäß der allgemeingültigen Entropiegleichung idealer Gase nur über die Temperaturen:
\begin{align}\;\;\;\;\;
&\Delta S = m \cdot c_v \cdot \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + m \cdot R_S \cdot \overbrace{\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)}^{=0} \\[5px]
\label{a}
&\boxed{\Delta S = m \cdot c_v \cdot \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)} \\[5px]
\end{align}
Alternativ kann die Entropieänerung auch über das Druckverhältnis bestimmt werden:
\begin{align}\;\;\;\;\;
&\Delta S = m \cdot c_v \cdot \ln\left(\frac{p_2}{p_1}\right) + m \cdot c_p \cdot \overbrace{\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)}^{=0} \\[5px]
&\boxed{\Delta S = m \cdot c_v \cdot \ln\left(\frac{p_2}{p_1}\right)} \\[5px]
\end{align}
Eine isochore Zustandsänderung zeigt im \(T(S)\)-Diagramm einen exponentiellen Verlauf. Diesen erhält man nach Auflösen von Gleichung (\ref{a}), wobei anstelle des Endzustandes (\(T_2\) und \(S_2\)) ein beliebiger Zustand gewählt werden kann (\(T\) und \(S\)):
\begin{align}\;\;\;\;\;
&\Delta S =S-S_1 = m \cdot c_v \cdot \ln\left(\frac{T}{T_1}\right) \\[5px]
&\frac{S-S_1}{m \cdot c_v} = \ln\left(\frac{T}{T_1}\right) \\[5px]
&\text{e}^{\frac{S-S_1}{m \cdot c_v}} = \text{e}^{\ln\left(\frac{T}{T_1}\right)} \\[5px]
&\text{e}^{\frac{S-S_1}{m \cdot c_v}} = \frac{T}{T_1} \\[5px]
&\boxed{T(S) = T_1 \cdot \text{e}^{\left(\dfrac{S-S_1}{c_v \cdot m} \right)} } \\[5px]
\end{align}
Abbildung: Entropie-Temperatur-Diagramm eines isochoren Prozesses
Die beim isochoren Prozess umgesetzte Wärme \(Q\) ergibt sich als Fläche unter der Zustandskurve. Sie kann durch Integration der Funktionsgleichung \(T(S)\) innerhalb der Grenzen von \(S_1\) bis \(S_2\) erhalten werden:
\begin{align}\;\;\;\;\;
&Q = \int\limits_{S_1}^{S_2} T(S) ~ \text{d}S \\[5px]
&Q = \int\limits_{S_1}^{S_2} T_1 \cdot \text{e}^{\left(\dfrac{S-S_1}{c_v \cdot m} \right)} ~ \text{d}S \\[5px]
&Q = \left[T_1 \cdot c_v \cdot m \cdot \text{e}^{\left(\dfrac{S-S_1}{c_v \cdot m} \right)} \right]^{S_2}_{S_1} \\[5px]
&Q = T_1 \cdot c_v \cdot m \cdot \text{e}^{\left(\dfrac{S_2-S_1}{c_v \cdot m} \right)} - T_1 \cdot c_v \cdot m \cdot \overbrace{\text{e}^{ 0}}^{=1} \\[5px]
&Q = T_1 \cdot c_v \cdot m \cdot \text{e}^{\left(\dfrac{S_2-S_1}{c_v \cdot m} \right)} - T_1 \cdot c_v \cdot m \\[5px]
&Q = T_1 \cdot c_v \cdot m \cdot \left[ \text{e}^{\left(\dfrac{S_2-S_1}{c_v \cdot m} \right)} - 1 \right] \\[5px]
\label{ds}
&\boxed{Q = T_1 \cdot c_v \cdot m \cdot \left[ \text{e}^{\left(\dfrac{\Delta S}{c_v \cdot m} \right)} - 1 \right]} \\[5px]
\end{align}
Gleichung (\ref{ds}) gibt den Wärmeumsatz anhand der Entropieänderung \(\Delta S\) wieder. Wird für die Entropieänderung die Gleichung (\ref{a}) verwendet, dann erhält man nach Einsetzen in Gleichung (\ref{ds}) die bekannte Formel für isochore Prozesse:
\begin{align}\;\;\;\;\;
&Q = T_1 \cdot c_v \cdot m \cdot \left[ \text{e}^{\left(\dfrac{\Delta S}{c_v \cdot m} \right)} - 1 \right] \\[5px]
&Q = T_1 \cdot c_v \cdot m \cdot \left[ \text{e}^{\left(\dfrac{m \cdot c_v \cdot \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)}{c_v \cdot m} \right)} - 1 \right] \\[5px]
&Q = T_1 \cdot c_v \cdot m \cdot \left[\text{e}^{ \ln\left(\frac{T_2}{T_1} \right) } - 1 \right] \\[5px]
&Q = T_1 \cdot c_v \cdot m \cdot \left[\frac{T_2}{T_1} - 1 \right] \\[5px]
&Q = c_v \cdot m \cdot T_2 - c_v \cdot m \cdot T_1 \\[5px]
&Q = c_v \cdot m \cdot \left(T_2 - T_1 \right) \\[5px]
&\boxed{Q = c_v \cdot m \cdot \Delta T} \\[5px]
\end{align}
Im nächsten Abschnitt wird auf den isobaren Prozess und dessen Darstellung im Entropie-Temperatur-Diagramm näher eingegangen.