Entropieänderung von idealen Gasen

Im Abschnitt erster Hauptsatz wurde gezeigt, dass sich dieser durch die Einführung der Entropie nur auf Zustandsgrößen reduzieren lässt. In differentieller Form drückt sich der erste Hauptsatz dann wie folgt aus:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{es}
&\boxed{T \cdot \text{d}S - p \cdot \text{d}V = m \cdot c_v \cdot \text{d}T} ~~~~~\text{gilt für ein ideales Gas} \\[5px]
\end{align}

Nach Umstellen von Gleichung (\ref{es}) folgt für die infinitesimale Änderung der Entropie \(\text{d}S\) in Abhängigkeit der Volumenänderung \(\text{d}V\) und der Temperaturänderung \(\text{d}V\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
T \cdot \text{d}S - p \cdot \text{d}V &= m \cdot c_v \cdot \text{d}T \\[5px]
T \cdot \text{d}S &= m \cdot c_v \cdot \text{d}T + p \cdot \text{d}V \\[5px]
\text{d}S &= m \cdot c_v \cdot \frac{1}{T} \cdot \text{d}T + \frac{p}{T} \cdot \text{d}V \\[5px]
\end{align}

Mithilfe der allgemeinen Gasgleichung gilt ferner \(\frac{p}{T}=m \cdot \frac{R_S}{V}\). Wird dieser Ausdruck in die obere Gleichung eingesetzt, so kann diese auf beiden Seiten integriert werden (wobei konstante Größen vor das jeweilige Integral geschrieben werden können):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\text{d}S &= m \cdot c_v \cdot \frac{1}{T} \cdot \text{d}T + m \cdot R_S \cdot \text{d}V \\[5px]
\int\limits_{S_1}^{S_2} ~\text{d}S &= m \cdot c_v \cdot  \int\limits_{T_1}^{T_2} \frac{1}{T} ~\text{d}T + m \cdot R_S \cdot \int\limits_{V_1}^{V_2} \frac{1}{V} ~\text{d}V \\[5px]
[S]^{S_2}_{S_1} &= m \cdot c_v \cdot  \ln[T]^{T_2}_{T_1} + m \cdot R_S \cdot \ln[V]^{V_2}_{V_1} \\[5px]
\end{align}

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{sss}
\boxed{\Delta S = m \cdot c_v \cdot  \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + m \cdot R_S \cdot \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)} ~~~~~\text{gilt für ein ideales Gas} \\[5px]
\end{align}

Diese Gleichung beschreibt nun für ideale Gase die Änderung der Entropie in Abhängigkeit der Temperaturänderung von \(T_1\) auf \(T_2\) und der Volumenänderung von \(V_1\) auf \(V_2\). Alternativ kann die Entropieänderung durch Einsetzen der allgemeinen Gasgleichung auch über die jeweiligen Drücke \(p_1\) und \(p_2\) in den entsprechenden Zuständen ermittelt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\Delta S = m \cdot c_v \cdot  \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + m \cdot R_S \cdot \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) ~~~~~\text{mit}~~~V=m \cdot R_S \cdot\frac{T}{p} ~~~~~\text{folgt:} \\[5px]
&\Delta S = m \cdot c_v \cdot  \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + m \cdot R_S \cdot \ln\left(\frac{T_2 \cdot p_1}{T_1 \cdot p_2}\right)  \\[5px]
&\Delta S = m \cdot c_v \cdot  \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + m \cdot R_S \cdot \left[ \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) +  \ln\left(\frac{p_1}{p_2}\right) \right] \\[5px]
&\Delta S = m \cdot c_v \cdot  \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + m \cdot R_S \cdot \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + m \cdot R_S \cdot \ln\left(\frac{p_1}{p_2}\right) \\[5px]
&\Delta S = m \cdot (\overbrace{c_v+R_S}^{=c_p}) \cdot  \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + m \cdot R_S \cdot \ln\left(\frac{p_1}{p_2}\right) \\[5px]
\end{align}

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{ss}
&\boxed{\Delta S = m \cdot c_p \cdot  \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + m \cdot R_S \cdot \ln\left(\frac{p_1}{p_2}\right)}~~~~~\text{gilt für ein ideales Gas} \\[5px]
\end{align}

Gleichung (\ref{sss}) und (\ref{ss}) erfordern zu Bestimmung der Entropieänderung stets die Anfangs- und Endtemperaturen. Werden diese Temperaturen gemäß der allgemeinen Gasgleichung jedoch durch die entsprechenden Volumina und Drück beschrieben, dann kann die Entropieänderung auch ohne Bekanntsein der Temperaturen bestimmt werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\Delta S = m \cdot c_v \cdot  \ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right) + m \cdot R_S \cdot \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) ~~~~~\text{mit}~~~T= \frac{p \cdot V}{m \cdot R_S} ~~~~~\text{folgt:} \\[5px]
&\Delta S = m \cdot c_v \cdot  \ln\left(\frac{p_2 \cdot V_2}{p_1 \cdot V_1}\right) + m \cdot R_S \cdot \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)  \\[5px]
&\Delta S = m \cdot c_v \cdot  \left[ \ln\left(\frac{p_2}{p_1}\right) +  \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) \right] +m \cdot R_S \cdot \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) \\[5px]
&\Delta S = m \cdot c_v \cdot  \ln\left(\frac{p_2}{p_1}\right) + m \cdot c_v \cdot \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) + m \cdot R_S \cdot \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) \\[5px]
&\Delta S = m \cdot c_v \cdot  \ln\left(\frac{p_2}{p_1}\right) + m \cdot (\overbrace{c_v+R_S}^{=c_p}) \cdot \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) \\[5px]
\end{align}

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{s}
&\boxed{\Delta S = m \cdot c_v \cdot  \ln\left(\frac{p_2}{p_1}\right) + m \cdot c_p \cdot \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)}~~~~~\text{gilt für ein ideales Gas} \\[5px]
\end{align}

Je nach speziellem Prozess ergeben sich in den Gleichungen für die Entropieänderung bestimmte Vereinfachungen. Auf diese wird in einem separaten Abschnitt näher eingegangen. Abschließend soll die Entropieänderung von Flüssigkeiten näher betrachtet werden.

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