Adiabate Drosselung

Ein isentroper Prozess setzt stets voraus, dass dieser ohne einen Wärmeumsatz stattfindet und damit in einem adiabaten System abläuft. Umgekehrt muss allerdings eine thermodynamische Zustandsänderung in einem adiabaten System hingegen nicht notwendigerweise isentrop ablaufen. Ein Beispiel hierfür ist das bereits betrachtete Beispiel der Expansion eines Gases ins Vakuum.

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Interaktive Abbildung: Expansion eines Gases gegen ein Vakuum

Dabei zeigte sich, dass diese Zustandsänderung zwar in einem adiabaten System abläuft, der Prozess selbst jedoch nicht isentrop ist! Schließlich expandiert das Gase gegen ein Vakuum und muss aufgrund der fehlenden Kraftaufwendung folglich keine Volumenarbeit verrichten (\(W=0\)). Ebenfalls existieren in dem adiabaten System keine Wärmeumsätze über die Systemgrenze hinweg (\(Q=0\)). Damit bleibt die innere Energie gemäß des ersten Hauptsatzes konstant (\(\Delta U=W+Q=0\)). 

Da die innere Energie für ein ideales Gas direkt mit der Temperatur verknüpft ist, bedeutet dies auch gleichzeitig, dass sich keine Änderung in der Temperatur ergibt. Der betrachtete Expansionsprozess ist somit isotherm und verläuft im \(T(S)\)-Diagramm schließlich als horizontale Linie. Diese Zustandsänderung geht folglich mit einer entsprechenden Entropieerhöhung einher. In diesem Fall kann sie jedoch nicht durch einen Wärmeumsatz zustande gekommen sein, da es sich um ein adiabates System handelt.

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Abbildung: Irreversible Vakuum-Expansion im Entropie-Temperatur-Diagramm

Demzufolge muss die zusätzliche Entropie offensichtlich während des Prozesses erzeugt worden sein. Diese Entropieerzeugung geht auf die irreversible Vakuum-Expansion zurück, da es sich hierbei um einen nicht-umkehrbaren Prozess handelt! Denn wäre der Prozess umkehrbar, dann müsste sich das Gas praktisch von selbst (ohne Arbeitsaufwand!) wieder spontan zurückziehen und das Volumen bei konstanter Temperatur verkleinern. Eine solche Volumenverkleinerung ist der Alltagserfahrung nach jedoch nur unter Arbeitsaufwand realisierbar. Bei einer solchen Arbeitszufuhr wäre der Prozess dann auch nicht mehr isotherm sondern die Temperatur würde durch die zugeführte Energie steigen.

Die Vakuum-Expansion stellt also eine typisch irreversible Zustandsänderung dar. Und wie bei jedem irreversiblen Prozess wird auch hier Entropie erzeugt (siehe zweiter Hauptsatz). Für ein ideales Gas ergibt sich die bei diesem isothermen Prozess (\(T_1=T_2\)) erzeugte Entropie \(\Delta S_{erz}\) anhand der Volumenänderung, wobei die gesamte Entropieänderung der erzeugten Entropie entspricht. 

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\Delta S_{erz}=\Delta S = m \cdot c_v \cdot  \overbrace{\ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)}^{=0} + m \cdot R_S \cdot \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) \\[5px]
&\Delta S_{erz}=\Delta S = m \cdot c_v \cdot  \overbrace{\ln\left(\frac{T_2}{T_1}\right)}^{=0} + m \cdot R_S \cdot \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) \\[5px]
&\boxed{\Delta S_{erz} = m \cdot R_S \cdot \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)} \\[5px]
\end{align}

Expandiert bspw. Luft mit einer spezifischen Gaskonstante mit \(R_S = 287~ \frac{\text{J}}{\text{kg~K}}\) und einer Masse von \(m =  10 \text{ g}\) auf das Vierfache des Ausgangsvolumens (\(\frac{V_2}{V_1} = 4\)), dann wird dabei eine Entropie von \(\Delta S_{erz} = 4 ~\frac{\text{J}}{\text{K}}\) erzeugt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\Delta S_{erz} = m \cdot R_S \cdot \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) \\[5px]
&\underline{\Delta S_{erz}} = 0,01~ \text{kg} \cdot 287~ \frac{\text{J}}{\text{kg~K}} \cdot \ln\left(4\right) = \underline{4~\frac{\text{J}}{\text{K}}}  \\[5px]
\end{align}

Im Abschnitt Entropieänderung mit Dissipation wurde bereits erläutert, dass sich die Fläche unter der Zustandskurve im Entropie-Temperatur-Diagramm als Summe von Wärmeenergie und Dissipationsenergie interpretieren lässt. Da im vorliegenden Fall aufgrund des adiabaten Systems jedoch kein Wärmeumsatz möglich ist, entspricht die Fläche unter der Kurve der dissipierten Energie. Wie kann man diese Energie nun interpretieren, da das Gas ja weder Wärmeenergie noch Arbeit nach außen umsetzt?

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Abbildung: Dissipierte Energie im Entropie-Temperatur-Diagramm

Die dissipierte Energie entspricht sozusagen der "entwerteten" Energie, die man bei gleicher Zustandsänderung, hätte nutzbar machen können. Hätte man nämlich anstelle des irreversiblen isothermen Prozesses eine reversible isotherme Zustandsänderung durchlaufen, dann hätte man (unter Wärmezufuhr!) diesen dissipierten Arbeitsbetrag als Volumenänderungsarbeit nach außen abgeben können.

Das Gas hätte dabei dieselbe Zustandsänderung durchlaufen, nur jedoch reversibel, d.h. das Gas hätte sozusagen überhaupt nicht bemerkt ob der Prozess nun reversibel (in einem nicht-adiabaten System unter Wärmezufuhr) oder irreversibel (in einem adiabaten System mit dissipierter Energie) abläuft. Diese Gelegenheit bei gleicher Zustandsänderung Arbeit umzusetzen wurde im vorliegenden Fall jedoch nicht genutzt und der möglich gewesene Arbeitsumsatz "entwertet" bzw. dissipiert. Dies entspricht der Fläche unter der Kurve im \(T(S)\)-Diagramm.

Auch auf anderem Wege zeigt sich die dissipierte Energie als verpasste Gelegenheit Arbeit umzusetzen. Hierzu stelle man sich vor, an dem Kolben wäre eine Zahnstange angebracht, die über Zahnräder ein Ventilator antreibt. Der Ventilator selbst ist im Zylinderinneren montiert. Wird der Kolben durch das Gas nun ausgeschoben, so verrichtet es zwar Arbeit, diese wird jedoch durch den Ventilator wieder vollständig in innere Energie dissipiert (\(W_{Diss} = -W_{V}\)) [fahre hierzu mit der Maus über die Abbildung]. Nach außen wird somit keine Arbeit abgegeben (\(W_g =0\)). Da es sich wiederum um ein adiabates System ohne Wärmeumsatz handelt (\(Q=0\)), zeigt sich auch in diesem Fall ein isothermer Prozess:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\require{cancel}
& \overbrace{W_V + W_{Diss}}^{=W_g = 0} + Q = \Delta U ~~~~~\text{mit } W_{Diss} = -W_V \text{ und } Q=0 \text{ folgt:}   \\[5px]
&W_V - W_V + \bcancel{Q} = \Delta U   \\[5px]
&\Delta U = 0 ~~~\rightarrow~T=\text{konstant}     \\[5px]
\end{align}

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Interaktive Abbildung: Dissipationsarbeit

Auch dieser Prozess zeigt also im \(T(S)\)-Diagramm denselben isothermen Verlauf wie die ursprüngliche Expansion des Gases gegen das Vakuum. Damit durchläuft das Gas in beiden Fällen offensichtlich dieselben Zustände (identischer Druck, identisches Volumen, identische Temperatur, Entropie, etc). Da das Gas schließlich keine Augen hat, kann es auch nicht zwischen den genannten Fällen unterscheiden. Somit bekommt die dissipierte Energie nun auch eine reale Bedeutung - nämlich die verpasste Chance Arbeit abzugeben!

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