Temperaturangleichung

Werden zwei Gegenstände mit unterschiedlichen Temperaturen in thermischen Kontakt miteinander gebracht, dann zeigt die Erfahrung, dass sich nach einer gewissen Zeit eine gemeinsame Gleichgewichtstemperatur einstellt. Im Kapitel Richmannsche Mischungsregel wurde die Berechnung solcher Mischtemperaturen bereits ausführlich erläutert. Für zwei unterschiedliche Stoffe mit den Massen \(m_A\) bzw. \(m_B\) und den Anfangstemperaturen \(T_A\) bzw. \(T_B\) ermittelt sich die Mischtemperatur \(T_M\) anhand der jeweiligen spezifischen Wärmekapazitäten \(c_A\) bzw. \(c_B\). Solange dabei keine Aggregatzustandsänderungen auftreten und Wärme nur zwischen den betrachteten Stoffen übertragen wird, gilt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{rr}
\boxed{T_M = \frac{c_A \cdot m_A \cdot T_A + c_B \cdot m_B \cdot T_B}{c_A \cdot m_A + c_B \cdot m_B}} \\[5px]
\end{align}

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Interaktive Abbildung: Temperaturangleichung zweier Stoffe

Für Gase muss beachtet werden, dass bei einer isobaren Temperaturangleichung die spezifische Wärmekapazität \(c_v\) und bei einer isochoren Temperaturangleichung die spezifische Wärmekapazität \(c_v\) einzusetzen ist. Bei Festkörper und Flüssigkeiten wird diese Unterscheidung aufgrund deren Inkompressibilität hinfällig.

Bei solchen Temperaturangleichungen handelt es sich ebenfalls um irreversible Prozesse. Denn der Umkehrprozess, dass sich einer der Körper aus dem thermodynamischen Gleichgewicht heraus wieder spontan erwärmt, während sich der andere abkühlt wurde bisher nicht beobachtet. Folglich wird auch bei solchen Ausgleichsprozessen Entropie erzeugt.

Diese Entropieerzeugung kann bestimmt werden indem die Entropieänderung beider Stoffe während des Ausgleichsprozess zunächst getrennt ermittelt wird, wobei für einen isochoren Ausgleichsprozess die spezifische Wärmekapazität \(c_v\) und für einen isobaren Prozess die spezifische Wärmekapazität \(c_p\) zu verwenden ist (siehe hierzu Kapitel Entropieänderung idealer Gase): 

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\Delta S_A = m_A \cdot c_A \cdot  \ln\left(\frac{T_M}{T_A}\right)   ~~~~~\text{Entropieänderung des Stoffes A} \\[5px]
&\Delta S_B = m_B \cdot c_B \cdot  \ln\left(\frac{T_M}{T_B}\right)   ~~~~~\text{Entropieänderung des Stoffes B} \\[5px]
\end{align}

Es zeigt sich schließlich, dass die Entropiezunahme aufgrund der Wärmezufuhr des kühleren Stoffes größer ist als die Entropieabnahme aufgrund der Wärmeabfuhr des wärmeren Stoffes. Denn schließlich wird die Wärme des heißeren Körpers bei höherer Temperatur abgeführt und die Entropieabnahme fällt deshalb geringer aus als die Entropiezunahme des kühleren Stoffes, bei welchem die Wärme bei geringerer Temperatur zugeführt wird. Beachte, dass gemäß der Definition der Entropie die Temperatur im Nenner steht, d.h. umso größer die Temperatur umso geringer die Entropieänderung:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\Delta S =  \int \frac{\text{d}Q}{T} \\[5px]
\end{align}

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Interaktive Abbildung: Entropieänderungen

Die Summe beider Entropieänderungen \(\Delta S_A\) und \(\Delta S_B\) der Stoff A und B entspricht somit der erzeugten Entropie \(\Delta S_{erz}\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\Delta S_{erz} = \Delta S_A + \Delta S_B =  m_A \cdot c_A \cdot  \ln\left(\frac{T_M}{T_A}\right) +  m_B \cdot c_B \cdot  \ln\left(\frac{T_M}{T_B}\right) \\[5px]
\label{1}
&\boxed{\Delta S_{erz} =  m_A \cdot c_A \cdot  \ln\left(\frac{T_M}{T_A}\right) +  m_B \cdot c_B \cdot  \ln\left(\frac{T_M}{T_B}\right)} \\[5px]
\end{align}

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Interaktive Abbildung: Entropieerzeugung

Anmerkung: Zusätzlich zur Entropieerzeugung aufgrund der Temperaturangleichung, muss bei der Durchmischung von Gasen oder Flüssigkeiten zusätzlich noch die Mischungsentropie berücksichtigt werden. Denn schließlich entmischen sich zwei homogene Gemische nicht von selbst wieder. Mischungsentropien sind in Gleichung (\ref{1}) nicht berücksichtigt! Bei Festkörpern ist die Berücksichtigung einer Mischungsentropie jedoch nicht erforderlich.

Wie lässt sich nun in diesem Beispiel die erzeugte Entropie mit der Dissipation von Energie in Zusammenhang bringen?

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\Delta S_{erz} = \int \frac{\text{d}W_{Diss}}{T} \\[5px]
\end{align}

Wie bereits im Abschnitt freie Expansion im Vakuum erläutert, steht die dissipierte Energie letztlich für die vergebene Chance Arbeit aus dem Prozess zu ziehen. Denn im vorliegenden Fall wurde die Wärme "ungenutzt" vom heißeren Stoff auf den kühleren Stoff übertragen. Man hätte an dieser Stelle jedoch durchaus Arbeit umsetzen können, während sich die Temperaturen angleichen. Zum Beispiel dadurch, dass man die unterschiedlich temperierten Stoffe an die entsprechenden Stelle eines Stirlingmotor anbringt. Der Wärmefluss wäre dann nicht ungenutzt übertragen worden, sondern wäre teilweise in Arbeit umgewandelt worden. Diese Arbeit wurde jedoch nicht genutzt sondern im vorliegenden Fall dissipiert ("zerstreut").

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