Anschauliche Zweckmäßigkeit der Entropie
Neben der Arbeit existiert in der Thermodynamik noch eine weitere Prozessgröße, nämlich die Wärme. Man ist deshalb versucht die analogen Zusammenhänge - wie sie im vorherigen Abschnitt für die Arbeit aufgeführt wurden und unten nochmals zusammengefasst sind - auch für die Wärme zu finden. Die führt zunächst zur Frage, welche thermodynamische Größe als Fähigkeit eines Stoffes verstanden werden kann Wärme abgeben bzw. aufnehmen zu können.
Im Zusammenhang mit der Prozessgröße Arbeit gilt:
- das Volumen eines Gases entspricht der Fähigkeit Arbeit zu verrichten
- Arbeitsumsätze führen zu Änderungen des Volumens bzw.
- Volumenänderungen führen zu Arbeitsumsätzen
- Volumenänderungen können über das Verhältnis von Arbeit und Druck definiert werden:
\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{1}
&\boxed{\text{d}V = \frac{\text{d}W_V}{p}} \\[5px]
\end{align} - wie viel Arbeit verrichtet wird, hängt bei gegebener Volumenänderung vom Druck ab:
\begin{align}\;\;\;\;\;
\notag
&\text{d}W_V = p \cdot \text{d}V \\[5px]
\end{align} - das Volumen ist eine extensive Zustandsgröße
- der Druck ist eine intensive Zustandsgröße
Diese Eigenschaft würde man vorschnell vielleicht der Temperatur zuordnen. Dies klingt im ersten Moment vernünftig, jedoch handelt es sich bei der Temperatur um eine intensive Zustandsgröße und nicht um eine extensive Zustandsgröße wie dies bei der analogen Größe des Volumens im Zusammenhang mit der Arbeit der Fall ist! Die Temperatur im Zusammenhang mit dem Begriff Wärme hat also vielmehr die analoge Bedeutung des Drucks im Zusammenhang mit dem Begriff Arbeit. Immerhin ist an dieser Stelle bereits eine analoge Größe zum Druck gefunden!
- Die Temperatur für Wärmeumsätze hat die analoge Bedeutung wie der Druck bei Arbeitsumsätzen!
Auch die innere Energie ist als Analogon zum Volumen an dieser Stelle nicht passend. Zwar handelt es sich dabei um eine extensive Zustandsgröße, gemäß den oberen Ausführen müsste jedoch dann eine Änderung der inneren Energie direkt mit einem Wärmeumsatz verbunden sein, so wie die Volumenänderung direkt mit einem Arbeitsumsatz verbunden ist. Ein isentroper ("adiabater") Prozess wiederlegt dies aber sofort. Denn bei einer solchen Zustandsänderung findet per Definition kein Wärmeumsatz statt, die innere Energie ändert sich dabei aber sehr wohl, da entweder Arbeit zugeführt wird (Kompression) oder abgeführt wird (Expansion). Eine Änderung der inneren Energie hat also nicht zwangsweise einen Wärmeumsatz zur Folge.
Man könnte an dieser Stelle noch weitere thermodynamische Größen anführen. Alle bisher vorgestellten Größen eignen sich nicht, um eine analoge Größe zum Volumen bzw. zur Volumenänderung eines Arbeitsumsatzes zu finden! Wenn es eine solche Größe bisher noch nicht gibt, dann wird es Zeit sich eine solche gemäß Gleichung (\ref{1}) einfach selbst zu definieren! Anstelle des Arbeitsumsatzes \(\text{d}W\) tritt der Wärmeumsatz \(\text{d}Q\) und für den Druck \(p\) die Temperatur \(T\) - die Geburtsstunde der Entropie(änderung) \(\text{d} S\):
\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{s}
&\boxed{\text{d}S = \frac{\text{d}Q}{T}} ~~~~~[S] = \frac{\text{J}}{\text{K}} ~~~~~\text{Entropie} \\[5px]
\end{align}
Diese Definition der Entropie beschreibt - ganz analog zum Volumen als Fähigkeit eines Systems Arbeit zu verrichten - nun die Fähigkeit eines Systems Wärme umzusetzen! Die Entropie ermöglicht es die thermodynamischen Vorgänge bei der Verrichtung von Arbeit nun auch auf die Wärme übertragen zu können. Siehe hierzu die unten abgebildete Tabelle.
Während sich für das Volumen eine anschauliche ("fassbare") Vorstellung ergibt, was man hierunter versteht, gibt es für die Entropie hingegen keine unmittelbar anschauliche Erklärung aus dem Alltag. Deshalb wurde sie auch soeben erst definiert, da es bisher keine bekannte Größe gab, welche die Fähigkeit eines Stoffes beschreibt, Wärme umzusetzen. In einem separaten Abschnitt wird deshalb versucht dem Entropiebegriff eine anschauliche Bedeutung zu geben.
Man kann die Entropie aber auch einfach nur als Rechengröße akzeptieren, so wie sie oben definiert ist, ohne dass man unbedingt eine anschauliche Erklärung benötigt! Tatsächlich gibt es zwar auch eine statistische Interpretation der Entropie ("Unordnung"), ob dies aber für das thermodynamische Verständnis immer so hilfreich ist, sei dahingestellt.
| Prozessgröße | Arbeit | Wärme |
| extensive Zustandsgröße | Volumen | Entropie |
| intensive Zustandsgröße | Druck | Temperatur |
| Fähigkeit zur Energieumsetzung | Volumen ist die Fähigkeit Arbeit umzusetzen | Entropie ist die Fähigkeit Wärme umzusetzen |
| Ohne Volumen, keine Arbeit | Ohne Entropie, keine Wärme | |
| Energieumsätze und Zustandsänderungen | Arbeitsumsätze führen zur Änderungen des Volumens | Wärmeumsätze führen zu Änderungen der Entropie |
| Zustandsänderungen und ihre Energieumsätze | Volumenänderungen führen zu Arbeitsumsätzen | Entropieänderungen führen zu Wärmeumsätzen |
| Definition | Volumenänderungen können über das Verhältnis von Arbeit und Druck definiert werden: \begin{align}\;\;\;\;\; \notag &\boxed{\text{d}V = -\frac{\text{d}W_V}{p}} \\[5px] \end{align} |
Entropieänderungen können über das Verhältnis von Wärme und Temperatur definiert werden: |
| Energieumsatz | Wie viel Arbeit umgesetzt wird, hängt bei gegebener Volumenänderung vom Druck ab: \begin{align}\;\;\;\;\; \notag &\boxed{\text{d}W_V =-p \cdot \text{d}V} \\[5px] \end{align} |
Wie viel Wärme umgesetzt wird, hängt bei gegebener Entropieänderung von der Temperatur ab: \begin{align}\;\;\;\;\; \notag &\boxed{\text{d}Q = T \cdot \text{d}S} \\[5px] \end{align} |
| Ist der Druck während einer Volumenänderung nicht mehr konstant, dann muss entlang der Druckfunktion \(p(V)\) innerhalb der Grenzen \(V_1\) und \(V_2\) integriert werden: \begin{align}\;\;\;\;\; \notag &\boxed{W_V = -\int\limits_{V_1}^{V_2} p(V) ~ \text{d}V}\\[5px] \end{align} |
Ist die Temperatur während einer Entropieänderung nicht mehr konstant, dann muss entlang der Temperaturfunktion \(T(S)\) innerhalb der Grenzen \(S_1\) und \(S_2\) integriert werden: \begin{align}\;\;\;\;\; \notag &\boxed{Q = \int\limits_{S_1}^{S_2} T(S) ~ \text{d}S}\\[5px] \end{align} |
|
| Zustandsdiagramme | Die Fläche unter der Zustandsänderung im Volumen-Druck-Diagramm entspricht der umgesetzten Arbeit | Die Fläche unter der Zustandsänderung im Entropie-Temperatur-Diagramm entspricht der umgesetzten Wärmeenergie |
Bei aller Analogie zwischen den Größen Arbeit und Wärme gibt es jedoch einen grundlegenden Unterschied. Dieser äußert sich dahingehend, wie sich die mengenartigen Zustandsgrößen Volumen bzw. Entropie bei der äußeren Zufuhr Arbeit bzw. Wärme verhalten. So führt die Zufuhr von Wärme zu einer Erhöhung der Entropie, die Zufuhr von Arbeit (durch Kompression) hingegen zu einer Verringerung des Volumens! Aus diesem Grund muss für eine mathematisch korrekte Schreibweise ein Minuszeichen in den Arbeitsgleichungen eingeführt werden (so wie in der Gegenüberstellung bereits geschehen).
In diesem Abschnitt wurde die Notwendigkeit der Entropie aus der Anschauung heraus begründet. Die Zweckmäßigkeit der Einführung der Entropie zeigt sich aber auch auf mathematischem Wege. Hierauf wird im nächsten Abschnitt näher eingegangen.