Exkurs: Maximale Saughöhe

In Zusammenhang mit dem im vorherigen Abschnitt erläuterten Trinkhalmprinzips zeigt sich noch ein weiteres Phänomen. So wird man ab einer bestimmten zu überbrückenden Höhendifferenz zwischen Wasseroberfläche und Mund feststellen, dass es selbst unter einer noch so großen Anstrengung nicht mehr möglich ist aus dem Trinkhalm zu trinken. Dies Grenze liegt theoretisch bei rund 10 m. Dies hat nicht etwa mit einer zu schwach ausgeprägten Mundmuskulatur zu tun sondern hat eine natürliche physikalische Ursache. So würde selbst die stärkste Saugpumpe der Welt bei dem Versuch mehr als 10 Metern Höhendifferenz zu überwinden scheitern.

Die Kraft  \(F_{eff}\) mit der das Wasser effektiv nach oben gedrückt werden kann ergibt sich aus der Differenz der Kraft \(F_0\) die am unteren Ende der Wassersäule das Wasser durch den äußeren Umgebungsdruck \(p_0\) nach oben drückt und der Kraft \(F_1\) am oberen Ende der Wassersäule mit der der innere Trinkhalmdruck \(p_1\) das Wasser nach unten drückt. In beiden Fällen wirken die Drücke auf denselben inneren Rohrquerschnitt \(A\), sodass die entsprechenden Kräfte anhand der Drücke ermittelt werden können (\(F=p \cdot A\)).

\begin{align}\;\;\;\;\;
&F_{eff} = F_0 - F_1  \\[5px]
&F_{eff} = p_0 \cdot A - p_1 \cdot A  \\[5px]
\end{align}

Trinkhalm, Prinzip, Erläuterung, Erklärung, Unterdruck, Umgebungsdruck, Strohhalm, maximale Höhe

Interaktive Abbildung: Trinkhalmprinzip

Diese effektive Kraft muss so groß sein, dass sie in der Lage ist die Wassersäule mit der Gewichtskraft \(F_G=m \cdot g\) nach oben zu drücken [fahre hierzu mit der Maus über die obere Abbildung]. Während die Druckkräfte \(F_1\) und \(F_2\) und damit auch die effektive Kraft \(F_{eff}\) konstant sind, hängt die Gewichtskraft der Wassersäule von der Steighöhe \(h\) ab. Mit zunehmender Steighöhe nimmt auch die Gewichtskraft der Wassersäule zu und wird schließlich irgendwann so groß sein wie die effektive Kraft. Ab dieser Höhe \(h\) ist es nun nicht mehr möglich das Wasser weiter nach oben zu drücken. Bei gegebenen Drück \(p_1\) und \(p_2\) ermittelt sich die Steighöhe \(h\) anhand der Wasserdichte \(\rho\) wie folgt.

\begin{align}\;\;\;\;\;
F_{eff} &\overset{!}{=} F_G  \\[5px]
p_0 \cdot A - p_1 \cdot A &= m \cdot g ~~~~~\text{mit} ~~~ m = \rho \cdot V = \rho \cdot A \cdot h  \\[5px]
p_0 \cdot A - p_1 \cdot A &=  \rho \cdot A \cdot h \cdot g   \\[5px]
p_0 - p_1 &=  \rho \cdot h \cdot g   \\[5px]
\end{align}

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\underline{h = \frac{p_0 - p_1}{\rho \cdot g} }  \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass die Förderhöhe \(h\) somit nicht von der Querschnittsfläche \(A\) abhängig ist sondern nur von den herrschenden Drücken und der Flüssigkeitsdichte! 

Für die maximale mögliche Kraft mit der das Wasser nach oben gedrückt werden kann muss im Halminneren ein Vakuum (\(p_1=0\)) herrschen, sodass der gesamte Umgebundsdruck \(p_0\) das Wasser ohne Gegendruck im Halminneren nach oben drücken kann. In diesem Fall erhält man die maximal mögliche Steighöhe \(h_{max}\) unter Erzeugung eines Vakuums im Halminneren:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&h_{max} = \frac{p_0 - \overbrace{p_1}^{=0}}{\rho \cdot g} \\[5px]
&\boxed{h_{max} = \frac{p_0}{\rho \cdot g} }\\[5px]
\end{align}

Bei einem Umgebungsdruck von \(p_0 = 1 \text{ bar} = 10^5 \frac{\text{N}}{\text{m²}}\) und einer Flüssigkeitsdichte von \(\rho = 1000 \frac{\text{kg}}{\text{m³}}\) sowie einer Fallbeschleunigung von \(g \approx 10 \frac{\text{N}}{\text{kg}}\) beträgt die maximale Förderhöhe somit \(h_{max} \approx 10 \text{m}\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\underline{h_{max}} = \frac{p_0}{\rho \cdot g} \approx \frac{10^5 \frac{\text{N}}{\text{m²}}}{1000 \frac{\text{kg}}{\text{m³}} \cdot 10 \frac{\text{N}}{\text{kg}}} = \underline{10 \text{ m}}  \\[5px]
\end{align}

Es lässt sich folglich maximal aus einem 10 Meter hohen Trinkhalm trinken. Bei einem längeren Trinkhalm kann der Umgebungsdruck die Wassersäule nicht mehr höher fördern und würde in dieser Höhe einfach stehen bleiben.

Anmerkung: Aufgrund des sogenannten hydrostatischen Drucks des umgebenden Wassers hat die Eintauchtiefe des Trinkhalms keine Auswirkungen auf die maximale Förderhöhe! Relevant ist lediglich die Wassersäule ausgehend von der Wasseroberfläche!

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