Alternative Herleitung der Seilreibungsgleichung

Die Herleitung der Seilreibungsgleichung wurde in den vorangegangenen Abschnitten ausführlich gezeigt. Wer sich jedoch der infinitesimalen Betrachtungsweise vertraut ist, dem sei in diesem Abschnitt eine wesentlich kürzere Herleitung der Seilreibungsgleichung gezeigt.

Die Problemstellung sei wieder, dass eine Kiste mit der Gewichtskraft \(F_1\) mithilfe eines Seils, welches über eine reibungsbehaftete Stange führt (Reibungskoeffizient \(\mu\)), nach oben gezogen werden soll. Hierfür muss am anderen Seilende zusätzlich zur Gewichtskraft die Reibungskraft \(F_R\) überwunden werden, sodass insgesamt mit einer Kraft \(F_2 > F_1\) gezogen werden muss. Der Umschlingungswinkel des Seils ist mit \(\varphi\) bezeichnet. Es wird wieder der statische Grenzfall betrachtet, bei dem sich das Seil gerade noch nicht bewegen lässt, d.h. die maximale Reibungskraft nach dem Coulombeschen Reibungsgestz wirksam ist. 

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Interaktive Abbildung: Seilreibung am Beispiel einer zu ziehenden Kiste

Ein Seilausschnitt unter dem infinitesimalen Winkel \(\text{d}\varphi\) wird nun näher betrachtet [fahre hierzu auch mit der Maus über die obere Abbildung]. Auf der linken Seite des Seil greife die Kraft \(F\) an. Aufgrund der wirkenden Reibungskraft muss auf der gegenüberliegenden Seite mit einer um \(\text{d}F\) größeren Kraft gezogen werden, d.h. insgesamt mit der Kraft \(F+\text{d}F\). Diese Kraftänderung \(\text{d}F\) ist direkt der am Seilausschnitt angreifenden Reibungskraft \(\text{d}F_R\) geschuldet, welche über das Coulomb'sche Reibungsgesetz mit der wirkenden Unterlagskraft \(\text{d} F_U\) in Zusammenhang steht (es wird also von der maximal wirkenden Reibungskraft im statischen Grenzfall ausgegangen!).

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Abbildung: Freischnitt und Kräfteaddition

Da sich der betrachtete Seilabschnitt im statischen Gleichgewicht befindet, müssen sich die oben genannten Kräfte alle zu Null addieren. Die Addition der entsprechenden Vektorpfeile muss folglich einen geschlossen Polygonzug bilden (Kräftepolygon). Die obere Abbildung zeigt hierzu die am Seilausschnitt angreifenden Kräfte sowie deren vektorielle Addition (Kräfteaddition). Der Winkel \(\text{d}\varphi\), unter dem der Seilausschnitt betrachtet wird, zeigt sich auch im Kräftepolygon als Winkel zwischen den Kräftevektoren \(F\). Wird der Winkel dabei im Bogenmaß angegeben, so kann aus dessen Definition heraus direkt eine Beziehung zwischen der Kraft \(F\) und der Unterlagskraft \(\text{d}F_U\) abgeleitet werden:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{0}
\text{Bogenwinkel } &=\frac{\text{Bogen"länge"}}{\text{Radius"länge"}} \\[5px]
 \text{d} \varphi & = \frac{\text{d}F_U}{F+\text{d}F} \\[5px]
\label{1}
\left(F+\text{d}F\right) \cdot \text{d} \varphi & = \text{d}F_U   \\[5px]
\end{align}

Beachte, dass es sich im Kräftepolygon bei dem Begriff "Länge" letztlich um die "Vektorlänge" handelt, d.h. um den Betrag der entsprechenden Kräfte. Zudem werden infinitesimale (unendlich kleine) Winkel betrachtet, sodass der "Bogen" in eine Gerade übergeht (vergleiche hierzu den im Kräftepolygon gestrichelt gezeichneten Bogen mit dem Vektor der Unterlagskraft \(\text{d}F_U\)). Damit kann die Definition des Bogenmaß auch für das gezeigte Kräftepolygon verwendet werden. Die "Bogenlänge" entspricht dabei der Unterlagskraft \(\text{d}F_U\) und die Radiuslänge der Summe der Kräfte \(F+\text{d}F\). 

Da ferner für infinitesimale Winkel die Kraftänderung \(\text{d}F\) gegenüber der Kraft \(F\) praktisch vernachlässigbar und somit Null ist, folgt aus Gleichung (\ref{1}) mit \(\lim\limits_{\text{d}\varphi \rightarrow 0}{\left(F+\text{d}F\right)}=F\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{2}
&\underline{\underline{F \cdot \text{d} \varphi =\text{d}F_U }} \\[5px]
\end{align}

Diese Gleichung kann man auch unmittelbar aus dem Kräftepolygon ableiten, wenn die Unterlagskraft \(\text{d}F_U\) in Gedanken an die Kräfte \(F\) geschoben wird [fahre hierzu mit der Maus über die untere Abbildung]. Dies entspricht letztlich nur einer anderen Reihenfolge des Aufsummierens der einzelnen Kräfte, wobei die Reihenfolge der Addition ohnehin keinen Einfluss auf das Kräftegleichgewicht hat. Die neue Radiuslänge entspricht dann nämlich der Kraft \(F\), sodass sich über den Winkel \(\text{d}\varphi\) der direkte Zusammenhang zu \(\text{d}F_U\) besteht. 

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Interaktive Abbildung: Bogenwinkel im Kräftepolygon

Beachte, dass alle Überlegungen immer auf unendlich kleinen Winkeln beruhen. In Kräfteskizzen können natürlich nur makroskopische Winkel gezeichnet werden. Solche Skizzen können somit nur als Ausgangspunkt dienen, ausgehend dessen man sich die Winkel nun immer kleiner werdend vorstellen muss. Dies setzt ein gewisses Abstraktionsvermögen voraus, um die sich dabei ergebende Zusammenhänge verstehen zu können und ist auch mit etwas Übung verbunden, weshalb manche Aussagen auf den ersten Blick nicht immer einleuchtend erscheinen mögen.

Auf dieselbe Gleichung (\ref{2}) kommt man übrigens auch, wenn man für die Radiuslänge in Gleichung (\ref{0}) statt der Kräftesumme \(F+\text{d}F\) die Kräftesumme \(F+\text{d}F_R\) zugrundelegt (siehe Kräftepolygon). Denn auch dabei gilt schließlich, dass für infinitesimale Winkel die Reibkraft \(\text{d}F_R\) gegenüber der Kraft \(F\) als unendlich klein betrachtet werden kann und somit zu Null wird. Letztlich ist ja die am rechten Ende mehr aufzuwendende Kraft \(\text{d}F\) direkt der wirkenden Reibungskraft \(\text{d}F_R\) geschuldet. Beide Größen sind für infinitesimale Winkel somit betragsmäßig ohnehin identisch (siehe Abbildung unten)!

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{3}
&\underline{\underline{\text{d}F_R= \text{d}F}} \\[5px]
\end{align}

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Abbildung: Zusammenhang zwischen Kraftänderung und Reibungskraft

Im statischen Grenzfall des Seils kann zudem mit dem Coulombschen Reibungsgesetz einen Zusammenhang zwischen der maximal wirksamen Reibungskraft \(\text{d}F_R\) und der Unterlagskraft \(\text{d}F_U\) über den Reibungskoeffizienten \(\mu\) hergestellt werden. Wird zudem Gleichung (\ref{3}) berücksichtigt, so folgt:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\text{d}F_R = \text{d}F_U \cdot \mu \\[5px]
\label{4}
&\underline{\underline{\text{d}F = \text{d}F_U \cdot \mu}} \\[5px]
\end{align}

Wird nun Gleichung (\ref{4}) durch Gleichung (\ref{2}) geteilt, so muss die hieraus resultierende Gleichung nur noch innerhalb der Kräftegrenzen \(F_1\) bis \(F_2\) bzw. innerhalb der Winkelgrenzen von 0 bis \(\varphi\) integriert werden und liefert somit die gesuchte Seilreibungsgleichung:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\frac{\text{d}F}{F \cdot \text{d}\varphi} = \frac{\text{d}F_U \cdot \mu}{\text{d}F_U } \\[5px]
&\frac{\text{d}F}{F} = \mu \cdot \text{d} \varphi \\[5px]
&\int_{F_1}^{F_2} \! \frac{1}{F} \, \mathrm{d}F = \mu \cdot \int_{0}^{\varphi} \! \, \mathrm{d}\varphi \\[5px]
\label{seilreibungsgleichung}
&\boxed{F_2 = F_1 \cdot e^{\mu \cdot \varphi}} \\[5px]
\end{align}

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