Seilreibungsgleichung

Hinweis: Wer sich der infinitesimalen Betrachtungsweise vertraut ist, kann eine alternative und wesentlich zeitsparendere Herleitung der Seilreibungsgleichung in diesem Abschnitt wiederfinden.

Die Genauigkeit mit der die notwendige Kraft \(F_2\) nach der im Abschnitt zuvor erläuterten Vorgehensweise ermittelt wird, hängt im entscheidenden Maße von der Größe des gewählten Winkelausschnitts \(\Delta \varphi\) ab.

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{1}
&\boxed{\Delta F = 2 F \cdot \tfrac{\sin\left(\tfrac{\Delta \varphi}{2}\right) \cdot \mu}{\cos\left(\tfrac{\Delta \varphi}{2}\right) -\sin\left(\tfrac{\Delta \varphi}{2}\right) \cdot \mu} }\\[5px]
\end{align}

Umso kleiner der Winkel \(\Delta \varphi\) gewählt wird, desto genauer wird das Endergebnis. Denn dann werden die bisher noch als Geraden gedachten Abschnitte immer kleiner und die polygonale Form nähert sich immer mehr der tatsächlichen kreisbogenform an. Nach der oben angewendeten Methode müssen dann aber extrem viele Berechnungen durchgeführt werden, was in der Praxis nicht wirklich praktikabel ist.

An dieser Stelle liefert eine tiefergehende mathematische Betrachtung eine bequemere Lösung. Wird nämlich der betrachtete Winkelausschnitt im Extremfall unendlich klein gewählt, dann tritt in Gleichung (\ref{1}) anstelle des makroskopischen Winkels \(\Delta \varphi\) der infinitesimale Winkel \(\text{d} \varphi\) sowie die sich in diesem Streckenabschnitt ergebende infinetesimale Kraftänderung \(\text{d} F\):

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{gleichung}
&\text{d} F = 2 F \cdot \tfrac{\sin\left(\tfrac{\text{d} \varphi}{2}\right) \cdot \mu}{\cos\left(\tfrac{\text{d}\varphi}{2}\right) -\sin\left(\tfrac{\text{d}\varphi}{2}\right) \cdot \mu} \\[5px]
\end{align}

Für den Extremfall unendlich kleiner Winkel \(\text{d} \varphi\) ergeben sich für Gleichung (\ref{gleichung}) in zweierlei Hinsicht Konsequenzen. Zum einen entspricht dann die Sinusfunktion deren Argument, sofern der Winkel dabei im Bogenmaß angegeben wird. Zum anderen strebt die Kosinusfunktion immer mehr dem Wert 1 zu und entspricht im Extremfall für unendlich kleine Winkel gar exakt dem Wert 1.

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{sinus}
&\lim\limits_{\text{d}\varphi \rightarrow 0}{\left(\sin\left(\tfrac{\text{d} \varphi}{2}\right)\right)} =  \tfrac{\text{d} \varphi}{2}  \\[5px]
\label{cosinus}
&\lim\limits_{\text{d}\varphi \rightarrow 0}{\left(\cos\left(\tfrac{\text{d} \varphi}{2}\right)\right)} = 1  \\[5px]
\end{align}

Werden diese Extremwertbetrachtungen mit in Gleichung (\ref{gleichung}) einbezogen, so ergibt sich eine weitere Konsequenz. Denn strebt \(\text{d}\varphi\) gegen Null, dann strebt in Gleichung (\ref{gleichung}) der Nenner des Bruchs gegen den Wert 1. Aus diesen Überlegungen heraus erhält man schließlich folgende Gleichung des vorliegenden Reibungsproblems:

\begin{align}\;\;\;\;\;
\label{kons}
&\text{d} F = 2 F \cdot \tfrac{    \tfrac{\text{d} \varphi}{2}     \cdot \mu}{\underbrace{1 - \tfrac{\text{d} \varphi}{2} \cdot \mu}_{\rightarrow 1}} \\[5px]
&\text{d} F = 2 F \cdot \tfrac{\text{d} \varphi}{2} \cdot \mu \\[5px]
\label{dgl}
&\underline{\underline{\frac{1}{F} \cdot \text{d} F = \mu \cdot \text{d} \varphi}}\ \\[5px]
\end{align}

Um die Gleichung zu lösen, muss diese nur noch innerhalb der entsprechenden Grenzen integriert werden. Diese mathematische Operation entspricht dem im Abschnitt zuvor händisch durchgeführten Aufsummieren der Kräfte bzw. der Winkel. Das Aufsummieren/Integrieren erfolgt entlang des Seils, d.h. ausgehend der Winkelstellung 0, bei der am Seil die Kraft \(F_1\) herrscht, bis hin zum Endwinkel \(\varphi\), bei dem die Seilkraft in die Kraft \(F_2\) übergeht. Diese Größen entsprechen den jeweiligen Integrationsgrenzen (Beachte, dass \(\mu\) als konstanter Faktor dabei vor das Integral gezogen werden kann):

\begin{align}\;\;\;\;\;
&\int_{F_1}^{F_2} \! \frac{1}{F} \, \mathrm{d}F = \mu \cdot \int_{0}^{\varphi} \! \, \mathrm{d}\varphi \\[5px]
&\left[\ln(F) \right]^{F_2}_{F_1} = \mu \left[\varphi \right]^{\varphi}_{0}  \\[5px]
&\ln(F_2) - \ln(F_1) = \mu \cdot \varphi \\[5px]
&\ln\left(\frac{F_2}{F_1}\right) = \mu \cdot \varphi \\[5px]
&e^{\ln\left(\frac{F_2}{F_1}\right)} = e^{\mu \cdot \varphi} \\[5px]
&\frac{F_2}{F_1} = e^{\mu \cdot \varphi} \\[5px]
\label{eytelwein}
&\boxed{F_2 = F_1 \cdot e^{\mu \cdot \varphi}} ~~~~~\text{Maximalkraft für den statischen Grenzfall} \\[5px]
\end{align}

Gleichung (\ref{eytelwein}) gibt den gesuchten Zusammenhang wieder, mit dem bei bekannter Kraft \(F_1\), Reibungskoeffizienten \(\mu\) und Umschlingungswinkel \(\varphi\) (im Bogenmaß anzugeben!) die im statischen Grenzfall maximal aufzubringende Zugkraft \(F_2\) ermittelt werden kann (an dieser Stelle treten häufig Fehlinterpretationen der Seilreibungsgleichung auf, welche in diesem Abschnitt näher diskutiert werden). Man bezeichnet dies auch als Eulersche bzw. Eytelweinsche Seilreibungsgleichung, da dessen Herleitung auf die Wissenschaftler Euler und Eytelwein zurückgeht. 

Die entlang des Seils wirkende Reibungskraft \(F_R\) ermittelt sich ganz allgemein aus der Differenz der Kräfte \(F_2\) und \(F_1\), sodass diese im statischen Grenzfall auch wie folgt ausgedrückt werden kann:

\begin{align}\;\;\;\;\;
&F_R = F_2-F_1= F_1 \cdot e^{\mu \cdot \varphi}-F_1 = F_1 \cdot \left(e^{\mu \cdot \varphi}-1 \right) \\[5px]
\label{12}
&\boxed{F_R = F_1 \cdot \left(e^{\mu \cdot \varphi}-1\right)} ~~~~~\text{Reibungskraft für den statischen Grenzfall} \\[5px]
\end{align}

Zur Überprüfung dieser Gleichungen werden die im Abschnitt zuvor angenommenen Werte (\(F_1\)= 100 N; \(\varphi\)= 2,30; \(\mu\)= 0,3) eingesetzt und man erhält ebenfalls die bereits ermittelte Maximalkraft von \(F_2\) = 200 N sowie eine dabei herrschende maximale Reibungskraft von \(F_R\) = 100 N:

\begin{align}\;\;\;\;\;
& \underline{\underline{F_2}} = F_1 \cdot e^{\mu \cdot \varphi} = 100 \text{ N} \cdot e^{0,3 \cdot 2,30}= 199,6 \text{ N} \approx \underline{\underline{200 \text{ N}}} \\[5px]
&\underline{\underline{F_R}} =F_1 \cdot \left(e^{\mu \cdot \varphi} -1 \right) = 100 \text{ N} \cdot \left(e^{0,3 \cdot 2,30}-1\right) = 99,6 \text{ N} \approx \underline{\underline{100 \text{ N}}} \\[5px]
\end{align}

Die untere Abbildung zeigt die qualitative Verteilung der Unterlagskraft entlang der Seilabschnitte. Da die dort wirkenden Reibungskräfte proportional zur Unterlagskraft sind, gilt diese Kräfteverteilung qualitativ auch für die Reibungskräfte. Die Summe all dieser Reibungskräfte entlang der Seilabschnitte entspricht dann der Gesamtreibungskraft \(F_R\). Vor allem für größere Umschlingungswinkel nehmen die Reibungskräfte entlang des Seils mehr und mehr zu. Der Reibungseffekt verstärkt sich somit exponentiell, sodass bereits eine geringe Vergrößerung des Umschlingungswinkels zu einem enormen Zuwachs an Reibung führt. Dieser exponentielle Zusammenhang wird direkt anhand Gleichung (\ref{12}) deutlich. Wird das Seil bspw. nochmals um eine volle Umschlingung um die Stange gewickelt, so muss am Seilende anstatt einer Kraft von 200 N nun bereits mit einer Kraft von 1315 N gezogen werden [fahre hierzu mit der Maus über die Abbildung]

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Interaktive Abbildung: Qualitative Verteilung der Reibungskraft/Unterlagskraft

Die untere Abbildung zeigt das Verhältnis \(\tfrac{F_2}{F_1}\) nach Gleichung (\ref{eytelwein}) in Abhängigkeit des Umschlingungswinkels \(\varphi\) für verschiedene Reibzahlen \(\mu\). Es wird ersichtlich, dass vor allem für größere Umschlingungswinkel die aufzubringenden Zugkraft rascher ansteigt. Besonderen Einfluss auf den Kurvenverlauf hat dabei der Reibwert \(\mu\).

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Abbildung: Kräfteverhältnisse im statischen Grenzfall in Abhängigkeit des Umschlingungswinkels für verschiedene Reibungskoeffizienten

Bei Anwendung der Seilreibungsgleichung müssen grundsätzlich immer zwei Fälle unterschieden werden. Befindet sich das System in Ruhe, so ist mit dem Haftreibungskoeffizenten \(\mu_H\) zu rechnen. Dabei wird von der maximal wirkenden Haftreibung ausgegangen, d.h. dem Grenzfall in dem sich das Seil gerade noch im Gleichgewicht befindet und ruht. Befindet sich das System hingegen in Bewegung, dann ist der Gleitreibungskoeffizient \(\mu_G\) zugrunde zu legen.

Ferner ist zu beachten, dass die Reibungskraft immer der tatsächlichen Bewegung bzw. der Bewegungstendenz entgegengesetzt gerichtet ist. Soll ist die Kiste also nicht nach oben gezogen werden sondern nur in Position gehalten bzw. gar abgelassen werden, dann kehrt sich der Reibungseffekt um. Die Reibung sorgt nun dafür, dass am anderen Ende des Seils mit einer geringeren Kraft \(F_2\) gehalten bzw. abgelassen werden muss im Vergleich zur (Gewichts-)Kraft \(F_1\). Die Kräftebezeichnungen bzw. deren Indizes in der Seilreibungsgleichung (\ref{eytelwein}) müssen dann getauscht werden.

Einfacher ist es deshalb sich folgendes zu merken: Die Kraft \(F_2\) entspricht immer jener Kraft die in Bewegungsrichtung bzw. in Bewegungstendenz des Seiles zeigt. Stellt man sich das Seil als Pfeil vor, dessen Spitze in Bewegungsrichtung bzw. Bewegungstendenz zeigt, dann entspricht die Kraft am Pfeilanfang der Kraft \(F_1\) und die Kraft an der gedachten Pfeilspitze der Kraft \(F_2\). Die Kraft \(F_2\) hat somit stets die Bedeutung einer "ziehenden" Wirkung und ist damit immer größer als die Kraft \(F_1\), welche die Funktion einer "haltenden" Wirkung einnimmt. Im nachfolgenden Kapitel finden sich hierzu mehr Informationen.

Beachte, dass der Durchmesser der Stange offensichtlich keinen Enfluss auf die Größe der Reibungskraft nimmt. Hierfür gibt es auch eine anschauliche Erklärung. Denn bei einem größeren Durchmesser ist zwar prinzipiell mehr Reibungsfläche vorhanden, dafür verteilt sich die Anpresskraft (= Unterlagskraft) jedoch gleichzeitig auf diese größere Fläche. Die vermeintliche Zunahme der Reibungskraft bei einem größeren Durchmesser wird somit durch die Abnahme der flächenbezogenen Unterlagskraft wieder vollständig kompensiert.

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